\int\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada. Informações e o que é pedido:
  • É dada a função integranda \,e^{2x}+e^{-2x}\,.
  • Pede-se encontrar \displaystyle \int\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)\,dx, ou seja, uma antiderivada dessa soma, mais a constante de integração.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a integral é linear, portanto a integral da soma é a soma das integrais. Em forma matemática:
\int\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)\,dx = \int e^{2x}\,dx + \int e^{-2x}\,dx.
Isso significa que podemos tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Fórmula útil para exponenciais: a derivada de e^{ax} em relação a x é a e^{ax}. Isso vem da regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u'; aqui u=ax e u'=a. Em símbolo:
\frac{d}{dx}\,e^{ax}=a\,e^{ax}.
Essa identidade nos dá a pista para a primitiva: se \frac{d}{dx} e^{ax}=a e^{ax}, então uma primitiva de e^{ax} é \dfrac{1}{a}e^{ax}, pois ao derivar \dfrac{1}{a}e^{ax} volta-se a e^{ax}.

Passo 4

Aplicando a observação do passo anterior temos a fórmula direta:
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,
desde que a\neq 0. Aqui C é a constante de integração que sempre aparece em integrais indefinidas.

Passo 5

Agora aplicamos essa fórmula a cada termo da soma:
  • Para o primeiro termo, com a=2:
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}.
  • Para o segundo termo, com a=-2:
\int e^{-2x}\,dx=\frac{1}{-2}e^{-2x}=-\frac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 6

Somando as duas primitivas e adicionando a constante de integração única obtemos:
\int\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.
Podemos fazer uma verificação rápida: ao derivar \dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{-2x} obtém-se e^{2x}+e^{-2x}, portanto está correto.

Resposta

\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}e^{-2x}+C

Exercícios relacionados