A inversa de uma matriz Nos Exercícios 1-6, mostre que é a inversa de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre inversa de matrizes. A ideia é mostrar que a matriz B é a inversa da matriz A. Para isso, precisamos saber que duas matrizes são inversas uma da outra se, quando multiplicadas, dão a matriz identidade. Vamos precisar calcular a multiplicação de A por B e ver se resulta na identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se tivermos duas matrizes A e B, a entrada na posição (i, j) da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A com os elementos da coluna j de B. Vamos aplicar isso para multiplicar A por B.
Passo 3
Vamos multiplicar A por B. Temos:
A = 2 & 1 5 & 3 e B = 3 & -1 -5 & 2 .
A multiplicação fica assim:
A times B = (2 times 3) + (1 times -5) & (2 times -1) + (1 times 2) (5 times 3) + (3 times -5) & (5 times -1) + (3 times 2) .
Passo 4
Agora, vamos calcular cada posição:
Primeira linha, primeira coluna: (2 times 3) + (1 times -5) = 6 - 5 = 1
Primeira linha, segunda coluna: (2 times -1) + (1 times 2) = -2 + 2 = 0
Segunda linha, primeira coluna: (5 times 3) + (3 times -5) = 15 - 15 = 0
Segunda linha, segunda coluna: (5 times -1) + (3 times 2) = -5 + 6 = 1
Passo 5
Então, a matriz resultante da multiplicação é:
A times B = 1 & 0 0 & 1
Passo 6
A matriz que obtemos, 1 & 0 0 & 1 , é exatamente a matriz identidade. Isso mostra que B é a inversa de A, pois A times B = I.