Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver o sistema:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x + y + 3z = 8, 4x + 2y - 2z = 4, 2x + 5y + 3z = -12
usando eliminação de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares para levá-la à forma reduzida por linhas, de onde extraímos direto os valores de x, y e z.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente:
[ccc|c 2 & 1 & 3 & 8 4 & 2 & -2 & 4 2 & 5 & 3 & -12 ]

Passo 3

Primeiro, normalizamos a primeira linha dividindo por 2 para obter pivô 1:
R1 12R1 Longrightarrow [ccc|c 1 & tfrac12 & tfrac32 & 4 4 & 2 & -2 & 4 2 & 5 & 3 & -12 ]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1:
R2 R2-4R1, R3 R3-2R1
Longrightarrow [ccc|c 1 & tfrac12 & tfrac32 & 4 0 & 0 & -8 & -12 0 & 4 & 0 & -20 ]

Passo 5

Para ter um pivô na segunda linha, trocamos R2 com R3 e em seguida normalizamos R2 dividindo por 4, e então zeramos a entrada acima do novo pivô:
R2rightarrow R3, R2 tfrac14R2, R1 R1-tfrac12R2
Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & tfrac32 & tfrac132 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & -8 & -12 ]

Passo 6

Agora normalizamos a terceira linha dividindo por -8 para obter pivô 1:
R3 -tfrac18R3 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & tfrac32 & tfrac132 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & tfrac32 ]

Passo 7

Por fim, eliminamos a entrada acima do pivô da coluna 3:
R1 R1-tfrac32R3
Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac174 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & tfrac32 ]
Da forma reduzida já lemos diretamente a solução.

Resposta

x=tfrac174, y=-5, z=tfrac32

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