A inversa de uma matriz Nos Exercícios 1-6, mostre que é a inversa de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a matriz B é a inversa da matriz A . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar A por B e verificar se o resultado é a matriz identidade I .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz identidade. É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Para matrizes 3x3, fica assim:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Se A times B = I , então B é a inversa de A .
Passo 3
Vamos agora fazer a multiplicação das matrizes A e B . Lembre-se de que para multiplicar duas matrizes, você multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e soma os resultados.
Matriz A :
A = -2 & 2 & 3 1 & -1 & 0 0 & 1 & 4
Matriz B :
B = 13 -4 & -5 & 3 -4 & -8 & 3 1 & 2 & 0
Passo 4
Vamos multiplicar a primeira linha de A pela primeira coluna de B :
(-2) times (-4) + 2 times (-4) + 3 times 1 = 8 - 8 + 3 = 3
Como estamos multiplicando por 13 , o resultado fica:
13 times 3 = 1
Esse é o elemento da primeira linha e primeira coluna de A times B .
Passo 5
Agora, vamos multiplicar a primeira linha de A pela segunda coluna de B :
(-2) times (-5) + 2 times (-8) + 3 times 2 = 10 - 16 + 6 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da primeira linha e segunda coluna.
Passo 6
Multiplicando a primeira linha de A pela terceira coluna de B :
(-2) times 3 + 2 times 3 + 3 times 0 = -6 + 6 + 0 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da primeira linha e terceira coluna.
Passo 7
Agora, multiplicamos a segunda linha de A pela primeira coluna de B :
1 times (-4) + (-1) times (-4) + 0 times 1 = -4 + 4 + 0 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da segunda linha e primeira coluna.
Passo 8
Multiplicando a segunda linha de A pela segunda coluna de B :
1 times (-5) + (-1) times (-8) + 0 times 2 = -5 + 8 + 0 = 3
Multiplicando por 13 :
13 times 3 = 1
Esse é o elemento da segunda linha e segunda coluna.
Passo 9
Multiplicando a segunda linha de A pela terceira coluna de B :
1 times 3 + (-1) times 3 + 0 times 0 = 3 - 3 + 0 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da segunda linha e terceira coluna.
Passo 10
Agora, multiplicamos a terceira linha de A pela primeira coluna de B :
0 times (-4) + 1 times (-4) + 4 times 1 = 0 - 4 + 4 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da terceira linha e primeira coluna.
Passo 11
Multiplicando a terceira linha de A pela segunda coluna de B :
0 times (-5) + 1 times (-8) + 4 times 2 = 0 - 8 + 8 = 0
Multiplicando por 13 :
13 times 0 = 0
Esse é o elemento da terceira linha e segunda coluna.
Passo 12
Multiplicando a terceira linha de A pela terceira coluna de B :
0 times 3 + 1 times 3 + 4 times 0 = 0 + 3 + 0 = 3
Multiplicando por 13 :
13 times 3 = 1
Esse é o elemento da terceira linha e terceira coluna.
Passo 13
Agora, juntando todos os resultados, temos que:
A times B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Isso mostra que B é realmente a inversa de A .
Resposta
Portanto, a matriz B é a inversa de A , ou seja, B = A^-1 .