Resolva os sistemas lineares dados encontrando as matrizes ampliadas linha reduzida à forma escada e determinando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
& x+y+2 z+w=13 & x-2 y+z+w=8 & 3 x+y+z-w=1

Passo 1

O sistema é
Aqui vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escada da matriz ampliada, calcular os postos da matriz de coeficientes e da ampliada, e então decidir se o sistema é possível e achar seu grau de liberdade.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [Amid b]:
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 1 & 13 1 & -2 & 1 & 1 & 8 3 & 1 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo de a11=1. Fazemos R2 R2 - R1 e R3 R3 - 3R1, obtendo
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 1 & 13 0 & -3 & -1 & 0 & -5 0 & -2 & -5 & -4 & -38 ]

Passo 4

Agora zeramos a entrada em posição (3,2). Por exemplo, fazemos 3R3 3R3 - 2R2, o que dá
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 1 & 13 0 & -3 & -1 & 0 & -5 0 & 0 & -13 & -12 & -104 ]
Esta é a forma escada da matriz ampliada.

Passo 5

Na forma escada vimos que há três linhas não-nulas tanto em A quanto em [Amid b]. Logo:
– posto l(Ar)=3
– posto l([Amid b]r)=3
Como o número de variáveis é 4 e o posto é 3, o sistema é possível e tem grau de liberdade
4 - 3 = 1

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
[cccc|c 1 & 1 & 2 & 1 & 13 0 & -3 & -1 & 0 & -5 0 & 0 & -13 & -12 & -104 ]
posto (A)=3
posto ( [Amid b] )=3
grau de liberdade =1.

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