Resolva os sistemas lineares dados encontrando as matrizes ampliadas linha reduzida à forma escada e determinando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
x+y & =1 2 x-y & =5 2 x-4 y & =2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y = 1, 2x - y = 5, 2x - 4y = 2,
e pede para montar a matriz ampliada, reduzi-la à forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes A e o posto da matriz ampliada [Amid b] e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada [Amid b]:
[cc|c 1 & 1 & 1 2 & -1 & 5 2 & -4 & 2 ]

Passo 3

Aplicamos R2 R2-2R1 e R3 R3-2R1:
[cc|c 1 & 1 & 1 0 & -3 & 3 0 & -6 & 0 ]
Em seguida escolhemos o pivô -3 em R2 e dividimos R2 por -3, depois eliminamos as outras entradas na coluna 2:
R2 -tfrac13R2, R1 R1-R2, R3 R3+6R2
resultando em
[cc|c 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & -6 ]

Passo 4

Na forma escada final temos três linhas não-nulas na amplificada, mas apenas duas colunas de coeficientes. Os pivôs em A (colunas 1 e 2) são dois, e na ampliada contamos também a última linha, que não é toda zero.

Passo 5

O posto da matriz de coeficientes é
rank(A)=2,
enquanto o posto da matriz ampliada é
rank([Amid b])=3
Como rank([Amid b])>rank(A), o sistema é impossível (inconsistente) e não há grau de liberdade.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
[cc|c 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & -6 ],
rank(A)=2, rank([Amid b])=3. O sistema é impossível e não tem grau de liberdade.

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