As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
a) argsenh(x)=ln (x+raizx^2+1), x in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a inversa da função hiperbólica seno, definida por
y=argsenh(x)iff senh(y)=x,
é dada pela fórmula
argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r), xinR
O conteúdo aqui é resolver a equação e^y-e^-y2=x para y.

Passo 2

Partimos da definição
senh(y)=x Longrightarrow e^y - e^-y2 = x
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
e^y - e^-y = 2x

Passo 3

Para facilitar, fazemos a substituição t = e^y. Então e^-y=1/t e a equação vira
t - 1t = 2x Longrightarrow t^2 - 1 = 2x,t Longrightarrow t^2 - 2x,t - 1 = 0

Passo 4

Esta é uma equação quadrática em t. As soluções são
t = 2x pm raiz(2x)^2 + 42 = x pm raizx^2 + 1
Como t=e^y>0 para todo y, devemos escolher o sinal “ +”, ou seja
t = x + raizx^2 + 1

Passo 5

Voltando a y, temos y = ln(t). Logo
y = lnl(x + raizx^2 + 1r)
Isso mostra que
argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r)

Resposta

argsenh(x)=lnl(x+raizx^2+1r), xinR

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