As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
a) y=argsenh(x) se, e somente se, senh(y)=x.
b) y=argcosh(x) se, e somente se, cosh (y)=x.
c) y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.
d) y=argcotgh(x) se, e somente se, cotgh(y)=x.
e) y=argsech(x) se, e somente se, sech(y)=x.
f) y=argcosech(x) se, e somente se, cosech(y)=x.
I) Verifique que:
b) argcosh(x)=ln (x+raizx^2-1), x >= 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão explícita para , definida pela equivalência
válida para . Para isso, vamos usar a definição de em termos de exponenciais.

Passo 2

Pela definição,
cosh(y)=e^y+e^-y2=x
Multiplicando por 2, obtemos
e^y+e^-y=2x
Para simplificar, fazemos a troca t=e^y, que implica t>0 e e^-y=1/t. Assim
t+1t=2x
e, multiplicando por t, surge a equação quadrática
t^2-2xt+1=0

Passo 3

Resolvendo a quadrática em t pelo discriminante, temos
t=2xpmraiz(2x)^2-4cdot1cdot12 =2xpm2raizx^2-12 =xpmraizx^2-1

Passo 4

Voltando a , como , segue
Como deve ser não negativo e enquanto , escolhemos o sinal “ ” para garantir .

Passo 5

Concluímos que
válido para .

Resposta

Exercícios relacionados