Sejam
e
. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de teoria dos conjuntos! A gente tem alguns conjuntos definidos:
,
,
e
. A pergunta quer saber quais das sentenças de (a) a ® são verdadeiras. Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos de conjuntos, como subconjuntos (
), elementos (
), e a diferença entre elementos e subconjuntos. Vamos analisar cada sentença passo a passo para ver se ela é verdadeira ou não.
Passo 2
(a)
Aqui, estamos perguntando se todo elemento de
está também em
. Olhando para
, percebemos que
é um conjunto dentro de
, e
tem apenas números individuais, não conjuntos. Então,
não está em
. Portanto, essa sentença é falsa.
Passo 3
(b)
Estamos verificando se o número 1 está dentro de
. Olhando para
, vemos que sim, o 1 está lá. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 4
(c)
Aqui, queremos saber se o número 1 está dentro de
. O que temos lá é o conjunto
como um elemento, mas não o número 1 sozinho. Então, o 1 não está diretamente em
. Essa sentença é falsa.
Passo 5
(d)
Essa é uma pegadinha!
não é um conjunto, é um número. A relação de subconjunto (
) só faz sentido entre conjuntos. Então, essa sentença não é válida e é falsa.
Passo 6
(e)
Queremos ver se o conjunto
está dentro de
. Para ser um subconjunto, todo elemento de
deve estar em
. O único elemento é 1, que está em
. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 7
(f)
Vamos verificar se
é um subconjunto de
. Na verdade,
é um elemento de
, mas não todos os elementos de
(que é só o 1) estão em
como elementos individuais. Aqui, a confusão é entre ser um elemento e ser um subconjunto. Então, essa sentença é falsa.
Passo 8
(g)
Quer ver se
está todo dentro de
. Olhando os elementos de
, todos eles estão em
. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 9
(h)
Aqui, estamos perguntando se
é um elemento de
. De fato,
está lá como um dos elementos. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 10
(i)
Vamos ver se todo elemento de
está em
. O 1 está em
, mas os elementos 3 e
não estão diretamente em
. Então,
não está todo dentro de
. Essa sentença é falsa.
Passo 11
(j)
Queremos saber se
está como um elemento dentro de
. De fato,
está em
. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 12
(k)
Estamos verificando se
não está em
. Como
é um conjunto e
tem apenas números,
não está em
. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 13
(l)
Queremos ver se todo elemento de
está na coleção
. O elemento
não está lá, só os números 1, 3, 9 e 10. Então, essa sentença é falsa.
Passo 14
(m)
Aqui, estamos perguntando se o conjunto vazio (
) está dentro de
. Olhando os elementos de
, não temos o conjunto vazio lá. Então, essa sentença é falsa.
Passo 15
(n)
Vamos ver se o conjunto vazio não está em
. De fato,
não tem o conjunto vazio como elemento. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 16
(o)
Estamos verificando se o conjunto vazio é um subconjunto de
. Na teoria dos conjuntos, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 17
§
Aqui, estamos comparando dois conjuntos:
e
. O primeiro é um conjunto que contém o conjunto vazio como elemento, enquanto o segundo é apenas o conjunto vazio. Eles não são iguais. Então, essa sentença é falsa.
Passo 18
(q)
Queremos saber se o conjunto vazio está dentro de
. De fato,
é o único elemento desse conjunto. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 19
®
Estamos verificando se o conjunto vazio é um subconjunto de
. Como o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isso é verdade. Então, essa sentença é verdadeira.
Resposta
As sentenças verdadeiras são: b, e, g, h, j, k, n, o, q e r.