Inverta a ordem de integraça nos seguintes casos:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(x, y) d y d x;

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f(x,y)\,dy\,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança na ordem de integração em integrais duplas, o que exige entender a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

Identificamos a região R no plano dada por
0 \le y \le x \le 1.
Graficamente, é o triângulo abaixo da reta y=x, entre x=0 e x=1, com y variando de 0 até x.

Passo 3

Para inverter a ordem, queremos escrever R como
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x
troca-se para
0 \le y \le 1,\quad y \le x \le 1.
Ou seja, primeiro varre-se x de x=y até x=1, e depois y de 0 até 1.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{y}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.

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