Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2}+1 & \text { se } x<1 \\\ (x-2)^{2} & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
a) Encontre \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x).
b) \lim _{x \rightarrow 1} f(x) existe?
c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & x<1,\\\ (x-2)^{2}, & x\ge1, \end{cases}
e pede:
a) os limites laterais em x=1;
b) verificar se o limite em x=1 existe;
c) esboçar o gráfico de f.
Para isso vamos aplicar a definição de limite lateral em cada ramo e depois comparar.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to1^{-}}f(x).
Quando x\to1^{-} usamos o ramo f(x)=x^{2}+1. Logo
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}(x^{2}+1) =1^{2}+1 =2.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to1^{+}}f(x).
Quando x\to1^{+} usamos o ramo f(x)=(x-2)^{2}. Assim
\lim_{x\to1^{+}}f(x) =\lim_{x\to1^{+}}(x-2)^{2} =(1-2)^{2} =1.

Passo 4

Para que \lim_{x\to1}f(x) exista, é preciso que
\lim_{x\to1^{-}}f(x) \;=\; \lim_{x\to1^{+}}f(x).
Aqui temos 2\neq1, então o limite em x=1 não existe.

Passo 5

Esboço do gráfico de f:
  • Para x<1, é a parábola y=x^{2}+1. Em x=1 esse ramo se aproxima de y=2, mas não o atinge: ponto aberto em (1,2).
  • Para x\ge1, é a parábola y=(x-2)^{2}. Em x=1 ela vale (1-2)^{2}=1, com ponto fechado em (1,1). A partir daí a curva vai até o vértice (2,0) e sobe para x>2.

Resposta

a) \lim_{x\to1^{-}}f(x)=2 e \lim_{x\to1^{+}}f(x)=1.
b) O limite \lim_{x\to1}f(x) não existe.
c) Gráfico: ramo y=x^{2}+1 para x<1 com ponto aberto em (1,2), e ramo y=(x-2)^{2} para x\ge1 com ponto fechado em (1,1) e vértice em (2,0).

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