Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integralx^2^x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
I = integral0^1l[integralx^2^x f(x,y),dyr]dx
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para reescrever a integral em dy,dx como uma integral em dx,dy, descrevendo corretamente a região de integração.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região D em termos de (x,y):
D = l(x,y)mid 0 <= x <= 1,;x^2 <= y <= xr
No plano xy, isso é o conjunto de pontos entre a parábola y=x^2 e a reta y=x, para x de 0 a 1.

Passo 3

Para inverter, achamos os limites em y. Na região D, y varia do menor valor da parábola/linha até o maior, portanto
0 <= y <= 1

Passo 4

Para cada y fixo em [0,1], as condições x^2<= y<= x equivalem a
x^2<= y Longrightarrow x<= raizy,
e
y<= x
Como x>=0, obtemos
y <= x <= raizy

Passo 5

Substituindo esses limites, a integral com ordem invertida fica
I = integral0^1l[integralx^2^x f(x,y),dyr]dx ;=; integral0^1l[integralx=y^x=raizy f(x,y),dxr]dy

Resposta

boxed integral0^1l[integraly^raizy f(x,y),dxr]dy

Exercícios relacionados