O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O valor de lim x -infty f(x) é:
circ
○ 5
○ 15
O não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de b e c na função f(x) = b - 10x e^-c x^2 - 5 de modo que ela cruze o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x = 4raiz3 . Depois, com esses valores, vamos analisar o limite de f(x) quando x tende a menos infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de avaliação de função no eixo y e cálculo de derivadas para encontrar os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar b usando o fato de que a função cruza o eixo y em 5. Isso significa que quando x = 0 , f(0) = 5 .
Substituindo na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b = 5
Então, b = 5 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar c sabendo que existe um ponto de inflexão em x = 4raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, encontramos a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx (5 - 10x e^-c x^2 - 5) = -10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx (-10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5) = 20c x e^-c x^2 - 5 + 40c x e^-c x^2 - 5 - 40c^2 x^3 e^-c x^2 - 5
Simplificando:
f''(x) = 60c x e^-c x^2 - 5 - 40c^2 x^3 e^-c x^2 - 5
Colocando f''(4raiz3) = 0 :
60c cdot 4raiz3 cdot e^-c (4raiz3)^2 - 5 - 40c^2 (4raiz3)^3 e^-c (4raiz3)^2 - 5 = 0
Fatorando:
e^-48c - 5 cdot c cdot 4raiz3 (60 - 40c cdot 48) = 0
Como e^-48c - 5 e c cdot 4raiz3 não são zero, temos:
60 - 1920c = 0 implies 1920c = 60 implies c = 601920 = 132

Passo 4

Agora que temos b = 5 e c = 132 , vamos calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito:
limx to -infty f(x) = limx to -infty (5 - 10x e^-132x^2 - 5)
Observamos que, para x to -infty :
e^-132x^2 - 5 = e^-5 cdot e^-132x^2 to 0 (pois x^2 to +infty)
Então:
-10x e^-132x^2 - 5 to 0
Portanto:
limx to -infty f(x) = 5

Resposta

○ 5

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