O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O valor de
é:
○ 5
○ 15
O não existe
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
O valor de
○ 5
○ 15
O não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de
e
na função
de modo que ela cruze o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
. Depois, com esses valores, vamos analisar o limite de
quando
tende a menos infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de avaliação de função no eixo
e cálculo de derivadas para encontrar os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
usando o fato de que a função cruza o eixo
em 5. Isso significa que quando
,
.
Substituindo na função:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
sabendo que existe um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, encontramos a primeira derivada
:
Agora, a segunda derivada
:
Simplificando:
Colocando
:
Fatorando:
Como
e
não são zero, temos:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular o limite de
quando
tende a menos infinito:
Observamos que, para
:
Então:
Portanto:
Resposta
○ 5