O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
A função f é decrescente para:
-8<x<8
x<-8 ou x>8
-4<x<4
0<x<4
x<-4 ou x>4

Passo 1

O enunciado pede para determinar b e c tal que a função
f(x)=b - 10,x,e^-c x^2-5
intersecte o eixo y em 5 (isto é, f(0)=5) e tenha ponto de inflexão em x=4raiz3. Em seguida, com esses valores de b e c, analisar onde f é decrescente. Vamos usar derivação de funções para achar b, c, depois estudar o sinal de f'.

Passo 2

Como a interseção com o eixo y é em 5, temos
f(0)=b - 10cdot0cdot e^-ccdot0^2-5=b=5
Logo,
b=5

Passo 3

Para achar c usamos a condição de ponto de inflexão em x=4raiz3, isto é, f''(4raiz3)=0. Primeiro calculamos
f'(x) = -10,ddxl(x,e^-c x^2-5r) = -10,e^-c x^2-5l(1 - 2c x^2r)
e então
f''(x) = -10,ddxl[e^-c x^2-5(1-2c x^2)r] =20,c,x,(3 - 2c x^2),e^-c x^2-5
Para x=4raiz3 temos e^-c(4raiz3)^2-5neq0 e xneq0, de modo que
3 - 2c,(4raiz3)^2 = 0 Longrightarrow 3 - 2ccdot48 = 0 Longrightarrow c = 396 = 132

Passo 4

Com b=5 e c=tfrac132, o sinal de f'(x) fica
f'(x) = -10,e^-,x^232-5l(1 - 2cdottfrac132x^2r) = -10,e^-,x^232-5l(1-x^216r)
Como -10,e^-,x^232-5<0 sempre, o sinal de f' é o oposto do sinal de
,1 - tfracx^216.
  • Se ,x^2<16 (isto é, -4<x<4), então 1-x^216>0 e f'(x)<0.
  • Se ,x^2>16 (isto é, vert xvert>4), então 1-x^216<0 e f'(x)>0.

Passo 5

Conclusão: f é decrescente sempre que -4<x<4, pois aí f'(x)<0.

Resposta

A função f é decrescente para
-4 < x < 4

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