O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
A função f tem concavidade para cima para:
x<-4 raiz3
0<x<4
  • -4 raiz3<x<0 ou x>4 raiz3
    0<x<4 raiz3
    x<-4 raiz3 ou 0<x<4 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de b e c na função f(x) = b - 10x e^-c x^2 - 5 de modo que ela corte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x = 4raiz3 . Além disso, depois disso, precisamos analisar a concavidade da função para diferentes intervalos de x . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais, derivadas e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o valor de b . Sabemos que a função f(x) intercepta o eixo y em 5, o que significa que f(0) = 5 . Vamos substituir x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b = 5
Então, já sabemos que b = 5 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de c . Sabemos que x = 4raiz3 é um ponto de inflexão da função f(x) . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero, ou seja, f''(4raiz3) = 0 .
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f(x) = 5 - 10x e^-c x^2 - 5
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5
Simplificando:
f'(x) = e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2)
Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx [ e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2) ]
Usando novamente a regra do produto:
f''(x) = e^-c x^2 - 5 ( -40c x + 40c^2 x^3 )
Queremos que f''(4raiz3) = 0 :
e^-c (4raiz3)^2 - 5 ( -40c (4raiz3) + 40c^2 (4raiz3)^3 ) = 0
Como a parte exponencial nunca é zero, basta resolver:
-40c (4raiz3) + 40c^2 (4raiz3)^3 = 0
Simplificando:
-160craiz3 + 40c^2 cdot 64 cdot 3raiz3 = 0
-160craiz3 + 7680c^2raiz3 = 0
Dividindo ambos os lados por 160raiz3 :
- c + 48c^2 = 0
Factorizando c :
c(-1 + 48c) = 0
Então, c = 0 ou c = 148 . Como c = 0 faria a função se tornar linear, descartamos essa solução. Portanto, c = 148 .

Passo 4

Agora que temos b = 5 e c = 148 , vamos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada f''(x) :
  • Se f''(x) > 0 , a função é côncava para cima.
  • Se f''(x) < 0 , a função é côncava para baixo.
Usando a segunda derivada que calculamos anteriormente:
f''(x) = e^-148 x^2 - 5 ( -4048 x + 4048^2 x^3 )
Simplificando:
f''(x) = e^-148 x^2 - 5 cdot -40x + 4048 x^348
Para determinar onde f''(x) > 0 , analisamos o termo dentro dos parênteses:
-40x + 4048 x^3 = 40x ( -1 + x^248 )
Resolvendo -1 + x^248 > 0 :
x^248 > 1 Rightarrow x^2 > 48 Rightarrow |x| > raiz48 = 4raiz3
Então, a concavidade para cima ocorre quando |x| > 4raiz3 , ou seja, para x < -4raiz3 ou x > 4raiz3 .

Resposta

Com b = 5 e c = 148 , a função f tem concavidade para cima para:
x < -4 raiz3 ou x > 4 raiz3

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