O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
A função
tem concavidade para cima para:
○
-
ou
○
ou
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Com os valores de
A função
○
○
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de
e
na função
de modo que ela corte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
. Além disso, depois disso, precisamos analisar a concavidade da função para diferentes intervalos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais, derivadas e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o valor de
. Sabemos que a função
intercepta o eixo
em 5, o que significa que
. Vamos substituir
na função:
Então, já sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
é um ponto de inflexão da função
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero, ou seja,
.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
:
Usando novamente a regra do produto:
Queremos que
:
Como a parte exponencial nunca é zero, basta resolver:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Factorizando
:
Então,
ou
. Como
faria a função se tornar linear, descartamos essa solução. Portanto,
.
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Usando a segunda derivada que calculamos anteriormente:
Simplificando:
Para determinar onde
, analisamos o termo dentro dos parênteses:
Resolvendo
:
Então, a concavidade para cima ocorre quando
, ou seja, para
ou
.
Resposta
Com
e
, a função
tem concavidade para cima para:
○
ou