Mostre que (\iint_{B} \frac{\operatorname{sen}\left(1-x{2}-y{2}\right)}{1-x{2}-y{2}} d x d y] existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral dupla de sobre o conjunto existe. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas e algumas ideias sobre funções contínuas e integráveis. Vamos precisar entender o comportamento da função dentro do conjunto e na sua fronteira .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde a função está definida. No conjunto , que é o disco unitário , a função está bem definida, exceto quando , que é a fronteira . Na fronteira, a função é definida como 1.
Passo 3
Vamos observar o comportamento da função quando se aproxima de 0, ou seja, quando se aproxima da fronteira . Sabemos pela regra de l’Hôpital que:
Isso mostra que a função se aproxima de 1 quando se aproxima de , o que coincide com a definição de na fronteira.
Passo 4
Agora, vamos considerar a integrabilidade da função sobre . A função é contínua em todo o interior de porque ali. Na fronteira , embora a função tenha um valor definido (1), tem área zero no plano . Em integrais duplas, conjuntos de medida zero não afetam a existência da integral. Além disso, a função está limitada, já que para todo u neq 0 , e na fronteira é exatamente 1.
Passo 5
Como a função g(x, y) é contínua no interior de B e tem um limite bem definido na fronteira que não causa problemas na integrabilidade, podemos concluir que a integral dupla de g sobre B existe.
Resposta
A integral dupla integral duplaB sen(1 - x^2 - y^2)1 - x^2 - y^2 , dx , dy existe.