Sejam
Mostre que (\iint_{B} \frac{\operatorname{sen}\left(1-x{2}-y{2}\right)}{1-x{2}-y{2}} d x d y] existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral dupla de sen(1 - x^2 - y^2)1 - x^2 - y^2 sobre o conjunto B existe. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas e algumas ideias sobre funções contínuas e integráveis. Vamos precisar entender o comportamento da função dentro do conjunto B e na sua fronteira D .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função g(x, y) = sen(1 - x^2 - y^2)1 - x^2 - y^2 está definida. No conjunto B , que é o disco unitário x^2 + y^2 <= 1 , a função está bem definida, exceto quando x^2 + y^2 = 1 , que é a fronteira D . Na fronteira, a função é definida como 1.

Passo 3

Vamos observar o comportamento da função sen(u)u quando u = 1 - x^2 - y^2 se aproxima de 0, ou seja, quando (x, y) se aproxima da fronteira D . Sabemos pela regra de l’Hôpital que:
limu to 0 sen(u)u = 1
Isso mostra que a função g(x, y) se aproxima de 1 quando (x, y) se aproxima de D , o que coincide com a definição de g na fronteira.

Passo 4

Agora, vamos considerar a integrabilidade da função g(x, y) sobre B . A função g é contínua em todo o interior de B porque 1 - x^2 - y^2 neq 0 ali. Na fronteira D , embora a função tenha um valor definido (1), D tem área zero no plano R^2 . Em integrais duplas, conjuntos de medida zero não afetam a existência da integral. Além disso, a função está limitada, já que | sen(u)u | <= 1 para todo u neq 0 , e na fronteira é exatamente 1.

Passo 5

Como a função g(x, y) é contínua no interior de B e tem um limite bem definido na fronteira que não causa problemas na integrabilidade, podemos concluir que a integral dupla de g sobre B existe.

Resposta

A integral dupla integral duplaB sen(1 - x^2 - y^2)1 - x^2 - y^2 , dx , dy existe.

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