Sejam C1 e C2 constantes. Verifique que y(x)=C1 cos (2 x)+C2 trn(2 x) é soluçào da equação y^prime prime+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(x)=C1cos(2x)+C2trn(2x)
é solução da equação diferencial
y'' + 4y = 0
Aqui o conteúdo é verificação direta numa EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando derivadas de funções trigonométricas. Para isso precisamos computar y' e y'' e substituir em y''+4y.
Observação: assumimos que trn(2x) equivale a sin(2x), pois é a forma usual da solução geral.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)
Usando ddxcos(2x)=-2sin(2x) e ddxsin(2x)=2cos(2x), obtemos
y'(x)=-2C1sin(2x)+2C2cos(2x)

Passo 3

Calcular a segunda derivada a partir de y'(x). Novamente aplicando as derivadas trigonométricas:
y''(x)=-2C1cdot2cos(2x)-2C2cdot2sin(2x) =-4C1cos(2x)-4C2sin(2x)

Passo 4

Substituir y e y'' em y''+4y:
y'' + 4y =l(-4C1cos(2x)-4C2sin(2x)r) +4l(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)
Distribuindo e somando termos iguais:
-4C1cos(2x)+4C1cos(2x);-;4C2sin(2x)+4C2sin(2x)=0
Logo
y''+4y=0
para todo x, mostrando que y(x) é solução da EDO.

Resposta

A função y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x) satisfaz y''+4y=0, portanto é solução da equação dada.

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