Inverta a ordem de integração em
\int_{-2}^{3 / 2}\left(\int_{(x+2) / 2}^{4-x^{2}} f(x, y) d y\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
\int_{x=-2}^{3/2}\!\Bigl(\int_{y=(x+2)/2}^{\,4 - x^{2}}f(x,y)\,dy\Bigr)dx.
O conteúdo é duplo integral e geometria do domínio R\subset\mathbb{R}^2. Vamos descrever R no plano xy, achar suas projeções em y e expressar x em função de y.

Passo 2

O domínio R é dado por
R = \bigl\{(x,y)\mid -2\le x\le\tfrac32,\;\tfrac{x+2}2\le y\le 4 - x^2\bigr\}.
As fronteiras são as curvas
y = \frac{x+2}2 \quad\text{e}\quad y = 4 - x^2,
que se intersectam onde \tfrac{x+2}2 = 4 - x^2.

Passo 3

Determinamos as interseções resolvendo
\frac{x+2}2 = 4 - x^2 \;\Longrightarrow\; 2x^2 + x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2 \quad\text{ou}\quad x = \frac32.
Substituindo em y=(x+2)/2, obtemos y=0 e y=7/4 nesses pontos, e a curva y=4-x^2 atinge seu máximo y=4 em x=0.

Passo 4

A projeção de R no eixo y é o intervalo
0 \le y \le 4.

Passo 5

Para um y fixo em [0,4], os x precisam satisfazer simultaneamente
y \ge \frac{x+2}2 \quad\Longrightarrow\quad x \le 2y - 2
e
y \le 4 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad -\,\sqrt{4 - y}\;\le\;x\;\le\;\sqrt{4 - y}.

Passo 6

O limite superior de x é o mínimo entre \sqrt{4-y} e 2y-2. Para achar onde eles trocam de papel, resolvemos
2y-2 = \sqrt{4 - y}, \quad y\ge1 \;\Longrightarrow\; y = \frac74.

Passo 7

Logo, a inversão da ordem de integração exige duas faixas em y:
  1. Para 0 \le y \le \tfrac74, tem-se 2y-2 \le \sqrt{4-y}, de modo que
x\in\bigl[-\sqrt{4-y},\,2y-2\bigr].
  1. Para \tfrac74 \le y \le 4, tem-se \sqrt{4-y} \le 2y-2, de modo que
x\in\bigl[-\sqrt{4-y},\,\sqrt{4-y}\bigr].

Passo 8

Agora escrevemos a integral invertida como soma de dois integrais em y:
\int_{y=0}^{7/4}\!\Bigl(\int_{x=-\sqrt{4-y}}^{\,2y-2} f(x,y)\,dx\Bigr)dy \;+\; \int_{y=7/4}^{4}\!\Bigl(\int_{x=-\sqrt{4-y}}^{\,\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\Bigr)dy.

Resposta

\int_{-2}^{3/2}\!\Bigl(\int_{(x+2)/2}^{4 - x^{2}}f(x,y)\,dy\Bigr)dx = \int_{0}^{7/4}\!\Bigl(\int_{-\sqrt{4-y}}^{\,2y-2} f(x,y)\,dx\Bigr)dy + \int_{7/4}^{4}\!\Bigl(\int_{-\sqrt{4-y}}^{\,\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\Bigr)dy.

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