Inverta a ordem de integração em
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
O conteúdo é duplo integral e geometria do domínio
. Vamos descrever
no plano
, achar suas projeções em
e expressar
em função de
.
Passo 2
O domínio
é dado por
As fronteiras são as curvas
que se intersectam onde
.
Passo 3
Determinamos as interseções resolvendo
Substituindo em
, obtemos
e
nesses pontos, e a curva
atinge seu máximo
em
.
Passo 4
A projeção de
no eixo
é o intervalo
Passo 5
Para um
fixo em
, os
precisam satisfazer simultaneamente
e
Passo 6
O limite superior de
é o mínimo entre
e
. Para achar onde eles trocam de papel, resolvemos
Passo 7
Logo, a inversão da ordem de integração exige duas faixas em
:
- Para
, tem-se , de modo que
- Para
, tem-se , de modo que
Passo 8
Agora escrevemos a integral invertida como soma de dois integrais em
: