(Suponha todas as unidades no padrão S.I.) Uma partícula de massa unitária encontrase inicialmente no ponto A(0,4), com vetor velocidade \overrightarrow{v_{0}}=3 \vec{i}, sob ação exclusiva do campo de forças \vec{F}(x, y)=-\frac{1}{(y+1)^{2}} \vec{j}, encerrando seu movimento ao atingir o ponto de ordenada nula.
(a) Determine a equação do vetor posição da partícula. (Lembre que o campo de forças provoca uma aceleração sobre a partícula, utilize a segunda lei de Newton para determinar a aceleração e determine via integração a velocidade e a posição)
(b) O campo \vec{F} age sobre a partícula como um campo conservativo?
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças sobre a partícula durante o deslocamento em questão.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa unitária, numa trajetória no plano, com posição inicial A(0,4) e velocidade inicial
\displaystyle \overrightarrow v(0)=3\,\mathbf i. Sobre ela age a força
\vec F(x,y)=-\frac1{(y+1)^{2}}\;\mathbf j.
O conteúdo aqui é aplicação da Segunda Lei de Newton para obter aceleração, depois integração para achar \vec v(t) e \vec r(t), além de verificar se o campo é conservativo e calcular trabalho.

Passo 2

Pela Segunda Lei de Newton, como m=1, temos
\vec a=\ddot{\vec r}=\vec F,
logo, separando componentes,
a_x=\ddot x=0, \qquad a_y=\ddot y=-\frac1{(y+1)^2}.
Integrando a_x=0 com v_x(0)=3
v_x(t)=3, \qquad x(t)=3t.

Passo 3

No eixo y escrevemos
\ddot y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\,\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy} =-\frac1{(y+1)^2}.
Integramos em y:
\int v_y\,dv_y =\int -\frac{dy}{(y+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac12\,v_y^2=\frac1{y+1}+C.
Em t=0, y(0)=4 e v_y(0)=0, o que dá
0=\tfrac1{4+1}+C\quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac15.
Portanto
v_y(y) =-\sqrt{2\Bigl(\frac1{y+1}-\frac15\Bigr)},
sendo o sinal “–” porque y decresce de 4 a 0.

Passo 4

Para achar y(t) separamos
\frac{dy}{\sqrt{\frac1{y+1}-\frac15}} =-\sqrt2\,dt,
e integramos de y=4 (quando t=0) até y=y(t) (quando t é genérico). Isso fornece a representação implícita
\int_{4}^{\,y(t)} \frac{d\eta}{\sqrt{\frac1{\eta+1}-\frac15}} =-\sqrt2\;t.
Em resumo, a trajetória paramétrica até atingir y=0 é
\boxed{ \vec r(t) =3t\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j, }
com y(t) dada pela integral acima e válida até y(t)=0.

Passo 5

Para saber se \vec F é conservativo, basta ver que
F_x=0,\quad F_y=-\frac1{(y+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_x}{\partial y}=0, \;\; \frac{\partial F_y}{\partial x}=0,
logo \nabla\times\vec F=\mathbf0 em todo domínio onde y\neq-1. Concluímos que existe um potencial U(y) tal que \vec F=-\nabla U, e de
-\frac{dU}{dy}=-\frac1{(y+1)^2}
segue
U(y)=-\frac1{y+1}+C.

Passo 6

O trabalho realizado pela força de A (onde y=4) até o ponto final (onde y=0) é
W =U(4)-U(0) =\Bigl(-\tfrac1{5}+C\Bigr)-\Bigl(-1+C\Bigr) =1-\tfrac15 =\frac45.

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t)=3t\,\mathbf i+y(t)\,\mathbf j, com y(t) definida implicitamente por
\int_{4}^{\,y(t)} \frac{d\eta}{\sqrt{\frac1{\eta+1}-\tfrac15}} =-\sqrt2\;t,
válido até y(t)=0.
(b) Sim, \vec F é campo conservativo (rotacional nulo para y\neq-1).
(c) W=\tfrac45.

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