Verificar se as equações abaixo são homogêneas e resovê-las.
2 x y \cdot y^{\prime}=3 y^{2}+x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2\,x\,y\,y' = 3\,y^2 + x^2
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é ODE homogênea, que se resolve via substituição
y = v\,x.

Passo 2

Primeiro isolamos y':
y' = \frac{3\,y^2 + x^2}{2\,x\,y}.
Note que tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais de grau 2 em x,y, de modo que a razão é uma função homogênea de grau zero. Isso confirma que a ODE é homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição y = v\,x. Então
y' = \frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituindo em y' = (3y^2+x^2)/(2xy) e usando y=v\,x, obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{3\,(v\,x)^2 + x^2}{2\,x\,(v\,x)} = \frac{3v^2 + 1}{2v}.
Isolando o termo dv/dx:
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{3v^2 + 1}{2v} - v = \frac{v^2 + 1}{2v}.
Isso leva à separação de variáveis:
\frac{2v}{v^2+1}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{v^2+1}\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(v^2+1\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.
Podemos reescrever como
v^2 + 1 = K\,x,
onde K = e^{C} é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando à variável original y = v\,x, temos
\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 + 1 = K\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2 + x^2}{x^2} = K\,x \quad\Longrightarrow\quad y^2 + x^2 = K\,x^3.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é dada implicitamente por
y^2 + x^2 = C\,x^3,
com C constante arbitrária.

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