Verificar se as equações abaixo são homogêneas e resovê-las.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é ODE homogênea, que se resolve via substituição
Passo 2
Primeiro isolamos
:
Note que tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais de grau 2 em
, de modo que a razão é uma função homogênea de grau zero. Isso confirma que a ODE é homogênea.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Então
Passo 4
Substituindo em
e usando
, obtemos
Isolando o termo
:
Isso leva à separação de variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Podemos reescrever como
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é dada implicitamente por
com
constante arbitrária.