Resolva as equações diferenciais Lineares de 1^{a} ordem.
y^{\prime}=x+y, sendo y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' = x + y
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo envolvido é a técnica do fator integrante para resolver equações da forma
y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
y' - y = x,
identificando p(x) = -1 e q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\int -1\,dx\bigr) = e^{-x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), temos
e^{-x}y' - e^{-x}y = x\,e^{-x}
e o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = x\,e^{-x}.
Integramos ambos os lados:
e^{-x}y = \int x\,e^{-x}\,dx + C.
Para calcular \int x\,e^{-x}\,dx, usamos integração por partes com u=x e dv=e^{-x}dx:
\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Logo,
e^{-x}y = -(x+1)e^{-x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 1 + C\,e^{x}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = -0 - 1 + C\cdot e^{0} \;\Longrightarrow\; 1 = -1 + C \;\Longrightarrow\; C = 2.

Passo 5

Substituindo C=2 na solução geral, obtemos
y(x) = 2\,e^{x} - x - 1.

Resposta

y(x) = 2e^{x} - x - 1.

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