Uma tira de alumínio apresenta comportamento plástico descrito pela equação de fluxo:
\sigma_{e f}=350 \varepsilon_{e f}^{0,4}
Essa tira foi submetida a um único passe de laminação a frio. Durante o passe, sua espessura foi reduzida de 3,0 \mathrm{~mm} para 2,1 \mathrm{~mm}, não havendo variação significativa da largura.
O atrito na interface cilindro/tira foi minimizado, de modo que a tensão principal no sentido de laminação ( \sigma_{1} ) corresponde a 30 \% da tensão principal no sentido da espessura ( \sigma_{3} ), isto é:
\sigma_{1}=0,3 \sigma_{3}
Determine:
a) As deformações principais finais:
\varepsilon_{1 f}, \varepsilon_{2 f}, \varepsilon_{3 f}
b) A deformação efetiva média:
d \varepsilon_{e f}
após esse passe de laminação.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que nos deram e as perguntas):
  • Lei de escoamento (relaciona tensão equivalente com deformação efetiva):
\sigma_{ef}=350\,\varepsilon_{ef}^{0,4}
  • Espessura inicial: \,t_0=3{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura final: \,t_f=2{,}1\\ \mathrm{mm}.
  • Não houve variação significativa da largura (largura praticamente constante).
  • Relação entre tensões principais: \sigma_{1}=0{,}3\,\sigma_{3}.
  • Pedidos:
    (a) determinar as deformações principais finais \varepsilon_{1f},\\ \varepsilon_{2f},\\ \varepsilon_{3f};
    (b) determinar a deformação efetiva média \Delta\varepsilon_{ef} (deformação efetiva após esse passe).

Passo 2

Entendimento das grandezas e escolha do conceito básico (isto é só explicação do que cada coisa significa e o que vamos usar):
  • Aqui a deformação que calcula-se normalmente em laminação é a deformação verdadeira (logarítmica), também chamada de deformação “verdadeira” ou “deformação natural”: para uma direção qualquer,
\varepsilon=\ln\!\left(\frac{\ell_f}{\ell_0}\right),
onde \ell_0 é a dimensão inicial e \ell_f a final.
  • Para metal em deformação plástica predominante assume-se incompressibilidade plástica (volume constante), portanto as deformações verdadeiras principais satisfazem
\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=0.
  • O enunciado diz que a largura praticamente não mudou, portanto assumimos
\varepsilon_2\approx 0.
Esses são os conceitos básicos que vamos aplicar para obter as deformações principais (não precisamos usar a lei de escoamento para obter as deformações geométricas).

Passo 3

Calcular a deformação verdadeira na espessura (direção 3), usando a fórmula do passo anterior:
\varepsilon_{3f}=\ln\!\left(\frac{t_f}{t_0}\right)=\ln\!\left(\frac{2{,}1}{3{,}0}\right)=\ln(0{,}7).
Calculando o valor numérico:
\varepsilon_{3f}=\ln(0{,}7)\approx -0{,}356675.
Ou seja, a espessura sofreu uma compressão verdadeira de aproximadamente -0{,}356675.

Passo 4

Usar a condição de incompressibilidade e a hipótese \varepsilon_2\approx 0 para obter \varepsilon_{1f}:
\varepsilon_{1f} = -(\varepsilon_{2f}+\varepsilon_{3f}) = -\big(0 + \varepsilon_{3f}\big) = -\varepsilon_{3f}.
Substituindo o valor:
\varepsilon_{1f} \approx -(-0{,}356675)=0{,}356675.
Portanto as deformações principais finais são:
\varepsilon_{1f}\approx 0{,}356675,\qquad \varepsilon_{2f}\approx 0,\qquad \varepsilon_{3f}\approx -0{,}356675.

Passo 5

Definição e cálculo da deformação efetiva (equivalente, von Mises) média do passe:
  • A deformação efetiva verdadeira (também chamada \varepsilon_{ef} ou \varepsilon_{eq}) para tensores diagonais e incompressíveis reduz-se à forma
\varepsilon_{ef}=\sqrt{\tfrac{2}{3}\big(\varepsilon_1^{2}+\varepsilon_2^{2}+\varepsilon_3^{2}\big)},
porque a média das deformações é zero e o termo deviatorico simplifica-se para essa expressão.
  • Substituindo os valores numéricos:
\varepsilon_{ef}=\sqrt{\tfrac{2}{3}\big((0{,}356675)^2+0^2+(-0{,}356675)^2\big)}.
Fazendo as contas passo a passo:
(0{,}356675)^2\approx 0{,}127228,
(0{,}356675)^2+(-0{,}356675)^2=2\times 0{,}127228=0{,}254456,
\tfrac{2}{3}\times 0{,}254456\approx 0{,}169637,
\varepsilon_{ef}=\sqrt{0{,}169637}\approx 0{,}4120.
Esse valor é a deformação efetiva média aplicada à tira no passe de laminação.

Passo 6

Comentário final rápido e motivador:
  • Note que a relação \sigma_{1}=0{,}3\,\sigma_{3} e a lei de escoamento fornecida serviriam caso quiséssemos calcular tensões ou verificar consistência com uma regra de fluxo associada; para obter as deformações geométricas finais a hipótese de largura praticamente constante e a incompressibilidade plástica bastam. Você fez o passo mais importante: transformar a redução de espessura em epsilons verdadeiros e calcular a equivalente. Mandou bem — isso é o que normalmente aparece em prova de conformação plástica!

Resposta

\varepsilon_{1f}=0{,}356675
\varepsilon_{2f}=0
\varepsilon_{3f}=-0{,}356675
\Delta\varepsilon_{ef}=0{,}4120

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