Inverta a ordem de integraçäo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede que invertemos a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral com
interno e
externo). Informações relevantes fornecidas:
- O limite externo é
. - Para cada
fixo, o limite interno é .
Passo 2
Vamos interpretar geometricamente a região de integração
no plano
. A condição sobre
significa, para cada
,
Isso implica
ou equivalentemente
Portanto
é o disco unitário centrado na origem:
.
Passo 3
Para inverter a ordem precisamos projetar
no eixo
e achar os limites de
. Como
é o disco unitário, a coordenada
atinge todos os valores entre
e
. Logo o limite externo (quando trocarmos a ordem) será
Passo 4
Agora, para um
fixo com
, determinamos o intervalo de
tal que
. Da desigualdade
obtemos
e portanto
Esse é o intervalo de
para cada
fixo no novo arranjo da integral.
Passo 5
Justificativa rápida (intuitiva): como a região
é limitada e simples (o disco unitário), e assumindo que
é integrável em
, vale trocar a ordem de integração (teorema de Fubini/Tonelli). Reunindo os limites que encontramos, a integral com ordem trocada terá
variando de
a
e, para cada
,
variando de
a
.