Inverta a ordem de integraçäo.
\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y)\, dy\right] dx
e pede que invertemos a ordem de integração (ou seja, escrever a mesma integral com dx interno e dy externo). Informações relevantes fornecidas:
  • O limite externo é x\in[-1,1].
  • Para cada x fixo, o limite interno é y\in\left[-\sqrt{1-x^{2}},\,\sqrt{1-x^{2}}\right].

Passo 2

Vamos interpretar geometricamente a região de integração R no plano (x,y). A condição sobre y significa, para cada x,
-\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}.
Isso implica
y^{2}\le 1-x^{2},
ou equivalentemente
x^{2}+y^{2}\le 1.
Portanto R é o disco unitário centrado na origem: R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 3

Para inverter a ordem precisamos projetar R no eixo y e achar os limites de y. Como R é o disco unitário, a coordenada y atinge todos os valores entre -1 e 1. Logo o limite externo (quando trocarmos a ordem) será
y\in[-1,1].

Passo 4

Agora, para um y fixo com -1\le y\le 1, determinamos o intervalo de x tal que (x,y)\in R. Da desigualdade x^{2}+y^{2}\le 1 obtemos
x^{2}\le 1-y^{2},
e portanto
-\sqrt{1-y^{2}}\le x\le \sqrt{1-y^{2}}.
Esse é o intervalo de x para cada y fixo no novo arranjo da integral.

Passo 5

Justificativa rápida (intuitiva): como a região R é limitada e simples (o disco unitário), e assumindo que f é integrável em R, vale trocar a ordem de integração (teorema de Fubini/Tonelli). Reunindo os limites que encontramos, a integral com ordem trocada terá y variando de -1 a 1 e, para cada y, x variando de -\sqrt{1-y^{2}} a \sqrt{1-y^{2}}.

Resposta

\int_{-1}^{1}\left[\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y)\, dx\right] dy

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