Inverta a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região de integração e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integral está definida de
até
, e para cada
,
varia de
até
. Isso significa que estamos integrando sobre uma região no plano
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região para visualizar melhor. Plotando as linhas
e
entre
e
, encontramos os pontos de interseção e os limites dessa área.
Passo 4
Depois de identificar a região, precisamos expressar
em termos de
para inverter a ordem de integração. Isso envolve resolver as equações
e
para
.
Passo 5
Resolvendo
para
, temos
. E resolvendo
para
, obtemos
. Assim, para cada
,
varia de
até
.
Passo 6
Identificamos também os limites de
. Observando a interseção das duas linhas, encontramos que
varia de
até
.
Passo 7
Com todos os novos limites, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica: