Inverta a ordem de integração:
integral1^e integralln x^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso envolve entender como mudar os limites de integração, algo que usamos em integrais duplas quando queremos simplificar a resolução ou adaptar a integral a outras condições. Para isso, vamos precisar identificar a região de integração no plano e reescrever os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 1 a , e para cada , varia de até . Vamos desenhar isso:
  1. vai de 1 a .
  2. Para cada , começa em e vai até .
Isso nos dá uma região delimitada pelas curvas e , entre e .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar a integral como . Para isso, precisamos determinar os novos limites , , e .
Primeiro, identificamos os limites para . Observando as curvas e :
  • Quando , e .
  • Quando , e .
Então, varia de 0 a .

Passo 4

Agora, para cada , determinamos os limites de . Precisamos expressar em função de :
  • A curva pode ser escrita como .
  • A curva já está em termos de .
Para uma dada , varia de até .

Passo 5

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1 integraly^e^y f(x, y) , dx , dy
Isso cobre a região original, mas precisamos verificar se realmente varia até .

Passo 6

Na verdade, percebemos que e se encontram quando e . Então, a faixa completa de varia de 0 a 1, pois só atinge até quando .

Passo 7

Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 integraly^e^y f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integraly^e^y f(x, y) , dx , dy

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