Inverta a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
. Isso envolve entender como mudar os limites de integração, algo que usamos em integrais duplas quando queremos simplificar a resolução ou adaptar a integral a outras condições. Para isso, vamos precisar identificar a região de integração no plano
e reescrever os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 1 a
, e para cada
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso:
-
vai de 1 a . - Para cada
, começa em e vai até .
Isso nos dá uma região delimitada pelas curvas
e
, entre
e
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar a integral como
. Para isso, precisamos determinar os novos limites
,
,
e
.
Primeiro, identificamos os limites para
. Observando as curvas
e
:
- Quando
, e . - Quando
, e .
Então,
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, para cada
, determinamos os limites de
. Precisamos expressar
em função de
:
- A curva
pode ser escrita como . - A curva
já está em termos de .
Para uma dada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Isso cobre a região original, mas precisamos verificar se
realmente varia até
.
Passo 6
Na verdade, percebemos que
e
se encontram quando
e
. Então, a faixa completa de
varia de 0 a 1, pois
só atinge até
quando
.
Passo 7
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é: