Inverta a ordem de integração:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla 
 . Isso envolve entender como mudar os limites de integração, algo que usamos em integrais duplas quando queremos simplificar a resolução ou adaptar a integral a outras condições. Para isso, vamos precisar identificar a região de integração no plano 
  e reescrever os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos 
  variando de 1 a 
 , e para cada 
 , 
  varia de 
  até 
 . Vamos desenhar isso:
- 
vai de 1 a .  - Para cada 
, começa em e vai até .  
Isso nos dá uma região delimitada pelas curvas 
  e 
 , entre 
  e 
 .
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar a integral como 
 . Para isso, precisamos determinar os novos limites 
 , 
 , 
  e 
 .
Primeiro, identificamos os limites para 
 . Observando as curvas 
  e 
 :
- Quando 
, e .  - Quando 
, e .  
Então, 
  varia de 0 a 
 .
Passo 4
Agora, para cada 
 , determinamos os limites de 
 . Precisamos expressar 
  em função de 
 :
- A curva 
pode ser escrita como .  - A curva 
já está em termos de .  
Para uma dada 
 , 
  varia de 
  até 
 .
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Isso cobre a região original, mas precisamos verificar se 
  realmente varia até 
 .
Passo 6
Na verdade, percebemos que 
  e 
  se encontram quando 
  e 
 . Então, a faixa completa de 
  varia de 0 a 1, pois 
  só atinge até 
  quando 
 .
Passo 7
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é: