Invertendo a ordem de integração, calcule:
integral0^3 integralraizx / 3^1 e^y^3 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^3integralraizx/3^1e^y^3,dy,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Vamos descrever a região R no plano (x,y). O enunciado dá
0<= x<= 3, raiztfracx3<= y<= 1
A condição raizx/3<= y equivale a x/3<= y^2, ou seja x<= 3y^2. Como x>=0 e y<=1, os limites invertidos ficam
0<= y<=1, 0<= x<= 3y^2

Passo 3

Trocando a ordem de integração, nossa integral vira
integraly=0^1integralx=0^3y^2e^y^3,dx,dy
Como e^y^3 é constante em x, fazemos primeiro
integral0^3y^2e^y^3,dx = e^y^3l[xr]0^3y^2 =3y^2e^y^3
Assim a integral reduz-se a
integral0^13y^2e^y^3,dy

Passo 4

Para calcular
integral0^13y^2e^y^3,dy
fazemos a substituição u=y^3, logo du=3y^2dy. Quando y=0, u=0; quando y=1, u=1. Assim
integral0^13y^2e^y^3,dy =integral0^1e^u,du =l[e^ur]0^1 =e-1

Resposta

e - 1

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