Prove que para todo inteiro positivo
vale:
Passo 1
Beleza, vamos provar essa equação que soma os quadrados dos números de 1 até
. O que a gente quer mostrar é que:
Para isso, vamos usar matemática por indução, que é uma técnica onde a gente prova que algo é verdadeiro para um caso inicial e, em seguida, mostra que se é verdadeiro para um número qualquer, também é para o seguinte.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos checar se a fórmula funciona para
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais (
), a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum inteiro positivo
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Agora, precisamos mostrar que:
Vamos começar adicionando
na hipótese de indução:
Vamos fatorar
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Agora, vamos fatorar o polinômio
:
Substituindo de volta:
Que é exatamente:
Isso confirma que se a fórmula vale para
, também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro positivo
: