Prove que para todo inteiro positivo n vale:
1^2+2^2+3^2+cdots+n^2=n(2 n+1)(n+1)6

Passo 1

Beleza, vamos provar essa equação que soma os quadrados dos números de 1 até n . O que a gente quer mostrar é que:
1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n(2n + 1)(n + 1)6
Para isso, vamos usar matemática por indução, que é uma técnica onde a gente prova que algo é verdadeiro para um caso inicial e, em seguida, mostra que se é verdadeiro para um número qualquer, também é para o seguinte.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos checar se a fórmula funciona para n = 1 .
Calculando o lado esquerdo:
1^2 = 1
Calculando o lado direito:
1(2 times 1 + 1)(1 + 1)6 = 1 times 3 times 26 = 66 = 1
Como os dois lados são iguais ( 1 = 1 ), a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula funciona para algum inteiro positivo k . Ou seja, assumimos que:
1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + k^2 = k(2k + 1)(k + 1)6
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a fórmula também vale para k + 1 .

Passo 4

Passo Indutivo: Agora, precisamos mostrar que:
1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + k^2 + (k + 1)^2 = (k + 1)(2(k + 1) + 1)(k + 2)6
Vamos começar adicionando (k + 1)^2 na hipótese de indução:
k(2k + 1)(k + 1)6 + (k + 1)^2
Vamos fatorar (k + 1) :
= (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]6
Simplificando dentro dos colchetes:
= (k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)6
= (k + 1)(2k^2 + 7k + 6)6
Agora, vamos fatorar o polinômio 2k^2 + 7k + 6 :
2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)
Substituindo de volta:
= (k + 1)(2k + 3)(k + 2)6
Que é exatamente:
(k + 1)(2(k + 1) + 1)(k + 2)6
Isso confirma que se a fórmula vale para k , também vale para k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro positivo n :
1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = n(2n + 1)(n + 1)6

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