Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s, partial zpartial t
z=e^x+2 y, x=s / t y=t / s

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = e^x + 2y
com
x = st e y = ts,
e pede partial zpartial s e partial zpartial t. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, derivamos z em relação a x e a y. Como z=e^x+2y, temos
partial zpartial x = e^x+2y, partial zpartial y = 2,e^x+2y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a s e t:
x=st Longrightarrow partial xpartial s = 1t, partial xpartial t = -st^2,
y=ts Longrightarrow partial ypartial s = -ts^2, partial ypartial t = 1s

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s = e^x+2y,1t + 2,e^x+2y!l(-ts^2r) = e^x+2y!l(1t-2ts^2r)

Passo 5

Analogamente, para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = e^x+2y!l(-st^2r) + 2,e^x+2y,1s = e^x+2y!l(-st^2+2sr)

Passo 6

Por fim, substituímos x=tfracst e y=tfracts no expoente:
x+2y = st + 2ts

Resposta

partial zpartial s = e^st+2ts!l(1t-2ts^2r), partial zpartial t = e^st+2ts!l(-st^2+2sr)

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