Um investidor aplica inicialmente um valor M em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de r. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor m a cada mês.
Modele essa situação com uma sequência (Cn) que representa o capital acumulado após n meses. Escreva uma expressão de recorrência para Cn, em função de Cn-1, r, m e M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um investidor que coloca um valor inicial M em uma conta que rende juros compostos a uma taxa mensal r . A partir do primeiro mês, ele começa a retirar uma quantia fixa m todo mês. Nosso objetivo é modelar essa situação usando uma sequência (Cn) , que representa o capital acumulado após n meses, e escrever uma expressão de recorrência para Cn em função de Cn-1 , r , m e M .
Vamos precisar entender sobre juros compostos e sequências de recorrência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos. Juros compostos significam que os juros de um período são adicionados ao capital e, no próximo período, os juros são calculados sobre esse novo valor. A fórmula básica para calcular o montante após um período com juros compostos é:
C = Canterior times (1 + r)
Onde:
  • C é o capital após os juros.
  • Canterior é o capital antes dos juros.
  • r é a taxa de juros.

Passo 3

Agora, consideremos a retirada mensal de uma quantia fixa m . Isso significa que, a cada mês, após calcular os juros, o investidor retira m do capital acumulado.
Então, a cada mês, o capital é atualizado da seguinte forma:
  1. Aplicamos os juros compostos ao capital do mês anterior.
  2. Subtraímos a quantia m que foi retirada.

Passo 4

Vamos traduzir isso para uma expressão de recorrência. Queremos expressar Cn (capital no mês n ) em termos de Cn-1 (capital no mês anterior), r e m .
Seguindo os passos que mencionamos:
  1. Aplica-se o juro de r ao capital de n-1 : Cn-1 times (1 + r) .
  2. Subtrai-se a retirada fixa m .
Então, a expressão fica:
Cn = Cn-1 times (1 + r) - m

Resposta

A expressão de recorrência para o capital acumulado após n meses é:
Cn = Cn-1 times (1 + r) - m

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