Um investidor aplica inicialmente um valor
em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de
. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor
a cada mês.
Modele essa situação com uma sequência
que representa o capital acumulado após
meses. Escreva uma expressão de recorrência para
, em função de
e
.
Modele essa situação com uma sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um investidor que coloca um valor inicial
em uma conta que rende juros compostos a uma taxa mensal
. A partir do primeiro mês, ele começa a retirar uma quantia fixa
todo mês. Nosso objetivo é modelar essa situação usando uma sequência
, que representa o capital acumulado após
meses, e escrever uma expressão de recorrência para
em função de
,
,
e
.
Vamos precisar entender sobre juros compostos e sequências de recorrência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos. Juros compostos significam que os juros de um período são adicionados ao capital e, no próximo período, os juros são calculados sobre esse novo valor. A fórmula básica para calcular o montante após um período com juros compostos é:
Onde:
-
é o capital após os juros. -
é o capital antes dos juros. -
é a taxa de juros.
Passo 3
Agora, consideremos a retirada mensal de uma quantia fixa
. Isso significa que, a cada mês, após calcular os juros, o investidor retira
do capital acumulado.
Então, a cada mês, o capital é atualizado da seguinte forma:
- Aplicamos os juros compostos ao capital do mês anterior.
- Subtraímos a quantia
que foi retirada.
Passo 4
Vamos traduzir isso para uma expressão de recorrência. Queremos expressar
(capital no mês
) em termos de
(capital no mês anterior),
e
.
Seguindo os passos que mencionamos:
- Aplica-se o juro de
ao capital de : . - Subtrai-se a retirada fixa
.
Então, a expressão fica:
Resposta
A expressão de recorrência para o capital acumulado após
meses é: