Um investidor aplica inicialmente um valor
em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de
. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor
a cada mês.
(a) Modele essa situação com uma sequência
que representa o capital acumulado após
meses. Escreva uma expressão de recorrência para
, em função de
e
.
(b) O limite
da sequência
, quando existe, é chamado de solução de equilíbrio. Assumindo que a sequência
seja convergente, determine o valor de
.
(c) Analise o comportamento da sequência
nos seguintes casos:
(i)
(ii)
(iii)
Em cada caso, o capital cresce, estabiliza ou tende a zero?
(a) Modele essa situação com uma sequência
(b) O limite
(c) Analise o comportamento da sequência
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Resumindo: um investidor aplica um valor
numa conta de juros compostos com taxa mensal
e, a partir do primeiro mês, retira todo mês uma quantia fixa
. A matéria é sequência definida por recorrência (linear não homogênea), juro composto e limite de sequência (ponto de equilíbrio). Vamos precisar de:
• fórmula do juro composto (multiplicação por ),
• definição de sequência por recorrência,
• conceito de ponto fixo e como achar o limite.
• fórmula do juro composto (multiplicação por
• definição de sequência por recorrência,
• conceito de ponto fixo
Passo 2
Para cada mês, primeiro o capital rende juros (multiplica por
) e depois você retira
. Isso dá a recorrência:
Pronto, essa é a modelagem pedida em (a).
Passo 3
O ponto de equilíbrio
é o valor tal que, se
, então
volta a ser
. Logo:
Esse é o limite da sequência assumindo convergência, parte (b).
Passo 4
A solução geral da recorrência é
onde
. Agora, nos três casos de (c):
(i) Se (
), então
e
, logo
: o capital cresce sem parar.
(ii) Se , então
e
para todo
: o capital estabiliza no equilíbrio.
(iii) Se (
), então
e
, ou seja, o saque supera o rendimento e o capital acaba (tende a zero na prática).
(i) Se
(ii) Se
(iii) Se
Resposta
(a)
(b)
(c)
• :
(cresce);
• :
(estabiliza);
• : saque > juro, o capital é consumido (tende a zero).
(b)
(c)
•
•
•