Um investidor aplica inicialmente um valor M em uma conta que rende juros compostos à taxa mensal de r. A partir do primeiro mês, ele retira uma quantia fixa de valor m a cada mês.
(a) Modele essa situação com uma sequência (Cn) que representa o capital acumulado após n meses. Escreva uma expressão de recorrência para Cn, em função de Cn-1, r, m e M.
(b) O limite L da sequência (Cn), quando existe, é chamado de solução de equilíbrio. Assumindo que a sequência (Cn) seja convergente, determine o valor de L.
(c) Analise o comportamento da sequência (Cn) nos seguintes casos:
(i) M>mr
(ii) M=mr
(iii) M<mr
Em cada caso, o capital cresce, estabiliza ou tende a zero?

Passo 1

Resumindo: um investidor aplica um valor M numa conta de juros compostos com taxa mensal r e, a partir do primeiro mês, retira todo mês uma quantia fixa m. A matéria é sequência definida por recorrência (linear não homogênea), juro composto e limite de sequência (ponto de equilíbrio). Vamos precisar de:
• fórmula do juro composto (multiplicação por 1+r),
• definição de sequência por recorrência,
• conceito de ponto fixo (L) e como achar o limite.

Passo 2

Para cada mês, primeiro o capital rende juros (multiplica por 1+r) e depois você retira m. Isso dá a recorrência:
C0 = M, e para n>=1:; Cn = (1+r),Cn-1 ;-; m
Pronto, essa é a modelagem pedida em (a).

Passo 3

O ponto de equilíbrio L é o valor tal que, se Cn-1=L, então Cn volta a ser L. Logo:
L ;=;(1+r),L ;-; m ;Longrightarrow; L - (1+r)L = -m ;Longrightarrow; -rL = -m ;Longrightarrow; L = mr
Esse é o limite da sequência assumindo convergência, parte (b).

Passo 4

A solução geral da recorrência é
Cn = (M - L),(1+r)^n ;+; L,
onde L=mr. Agora, nos três casos de (c):
(i) Se M > L ( M>tfracmr), então M-L>0 e (1+r)^ntoinfty, logo Cnto+infty: o capital cresce sem parar.
(ii) Se M = L, então M-L=0 e Cn=L para todo n: o capital estabiliza no equilíbrio.
(iii) Se M < L ( M<tfracmr), então M-L<0 e (M-L)(1+r)^nto-infty, ou seja, o saque supera o rendimento e o capital acaba (tende a zero na prática).

Resposta

(a) C0 = M, Cn = (1+r),Cn-1 - m
(b) L = dfracmr
(c)
M>mr: Cnto+infty (cresce);
M=mr: Cn=L (estabiliza);
M<mr: saque > juro, o capital é consumido (tende a zero).

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