Uma população de bactérias cresce de forma que, a cada hora, o número de indivíduos aumenta
em relação ao total da hora anterior. Inicialmente, há
bactérias.
(a) Modele essa situação por meio de uma sequência
que represente o número de bactérias após
horas.
(b) Suponha que
. Determine aproximadamente quanto tempo é necessário para que a população dobre de tamanho.
(c) Se
bactérias, estime a população após 3 dias.
(a) Modele essa situação por meio de uma sequência
(b) Suponha que
(c) Se
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos uma população de bactérias que cresce r % a cada hora, começando com
bactérias. A gente precisa:
- Modelar isso como uma sequência
; - Se
, achar quanto tempo leva pra dobrar de tamanho; - Com
bactérias, estimar a população após 3 dias.
O conteúdo essencial aqui é progressão geométrica (PG) e logaritmos pra “desempacotar” uma equação exponencial. Vamos usar a fórmula da PG e a propriedade.
Passo 2
Modelagem (parte a):
Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma razão . Aqui a taxa de crescimento é
por hora, logo
Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma razão
Como no instante zero temos
, o número de bactérias após
horas é
Passo 3
Dobrar de tamanho (parte b):
Queremos com
, ou seja
Queremos
Pra “tirar” o
do expoente, aplicamos logaritmo natural nos dois lados:
Usando
e
, dá
ou seja, cerca de 12,1 horas.
Passo 4
População em 3 dias (parte c):
Três dias têm horas. Logo
Três dias têm
Pra estimar, fazemos de novo logaritmos:
então
Resposta
a)
b) horas
c) bactérias
b)
c)