Uma população de bactérias cresce de forma que, a cada hora, o número de indivíduos aumenta r % em relação ao total da hora anterior. Inicialmente, há P0 bactérias.
(a) Modele essa situação por meio de uma sequência (Pn) que represente o número de bactérias após n horas.
(b) Suponha que r=5,9 %. Determine aproximadamente quanto tempo é necessário para que a população dobre de tamanho.
(c) Se P0=100 bactérias, estime a população após 3 dias.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos uma população de bactérias que cresce r % a cada hora, começando com P0 bactérias. A gente precisa:
  1. Modelar isso como uma sequência l(Pnr);
  2. Se r=5,9%, achar quanto tempo leva pra dobrar de tamanho;
  3. Com P0=100 bactérias, estimar a população após 3 dias.
    O conteúdo essencial aqui é progressão geométrica (PG) e logaritmos pra “desempacotar” uma equação exponencial. Vamos usar a fórmula da PG e a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 2

Modelagem (parte a):
Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma razão q. Aqui a taxa de crescimento é r% por hora, logo
q = 1 + r100
Como no instante zero temos P0, o número de bactérias após n horas é
Pn ;=; P0,l(1+tfracr100r)^n

Passo 3

Dobrar de tamanho (parte b):
Queremos Pn=2P0 com r=5,9%, ou seja
2P0 ;=; P0,(1,059)^n Longrightarrow 2 = (1,059)^n
Pra “tirar” o n do expoente, aplicamos logaritmo natural nos dois lados:
ln 2 ;=; lnl((1,059)^nr) =;n,ln(1,059) Longrightarrow n = ln 2ln(1,059)
Usando ln2approx0,6931 e ln(1,059)approx0,05733, dá
n approx 0,69310,05733 approx 12,1
ou seja, cerca de 12,1 horas.

Passo 4

População em 3 dias (parte c):
Três dias têm 3times24=72 horas. Logo
P72 ;=; 100,(1,059)^72
Pra estimar, fazemos de novo logaritmos:
ln P72 = ln100 + 72,ln(1,059) approx 4,6052 + 72times0,05733 = 8,7328,
então
P72 approx e^8,7328 approx 6200

Resposta

a) Pn = P0,l(1 + tfracr100r)^n
b) n = dfracln2ln(1,059) approx 12,1 horas
c) P72 = 100,(1,059)^72 approx 6200 bactérias

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