1-) Suponha um jogo disputado com um único dado honesto, em que um jogador ganha
20,00
\mathrm{R} $40,00
\mathrm{R} $ 30,00$ se aparece 6 , e não ganha nem perde se aparece qualquer das outras faces. Determine a esperança do seu ganho.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a esperança (valor esperado) do ganho de um jogador num jogo com um dado honesto. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O dado é honesto: cada face
tem probabilidade igual. - Pagamentos conforme a face que aparece:
- aparece
ganho de , - aparece
ganho de , - aparece
perda de (ou ganho de ), - aparece
ou ganho de .
- aparece
- Pergunta: qual é a esperança (valor esperado) do ganho por jogada?
Passo 2
Definimos o espaço amostral e as probabilidades: o espaço amostral das faces é
e, como o dado é honesto, cada face tem probabilidade
Aqui estou usando a noção intuitiva de probabilidade de um dado justo: seis resultados igualmente prováveis, logo cada um tem probabilidade
.
Passo 3
Definimos a variável aleatória
que representa o ganho do jogador (em reais) dependendo da face observada:
Expliquei em palavras: para cada face eu coloquei o valor em reais que o jogador recebe (perda é valor negativo).
Passo 4
A fórmula que usamos para calcular a esperança de
é a soma dos possíveis valores de
multiplicados pelas suas probabilidades:
Aqui
é a esperança (valor médio) de
,
são os valores que
pode assumir e
é a probabilidade de cada valor.
Passo 5
Aplicamos a fórmula usando os valores e probabilidades do passo 3. Como apenas as faces
dão ganhos diferentes de zero, só precisamos somar as contribuições dessas faces:
Simplificando, os termos com zero somam zero, então
Passo 6
Continuando a conta numericamente:
portanto
Interpretação rápida: em média (esperança) o jogador ganha
por jogada — é um jogo favorável ao jogador em termos de valor esperado. Força aí, dá pra decorar esse raciocínio: listar ganhos, associar probabilidades e fazer a média ponderada!