1-) Suponha um jogo disputado com um único dado honesto, em que um jogador ganha \mathrm{R} \ 20,00 se aparece o número 2 ,ú\mathrm{R} $40,00 se aparece 4 , perde\mathrm{R} $ 30,00$ se aparece 6 , e não ganha nem perde se aparece qualquer das outras faces. Determine a esperança do seu ganho.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a esperança (valor esperado) do ganho de um jogador num jogo com um dado honesto. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O dado é honesto: cada face 1,2,3,4,5,6 tem probabilidade igual.
  • Pagamentos conforme a face que aparece:
    • aparece 2 \Rightarrow ganho de \mathrm{R}\$\,20,00,
    • aparece 4 \Rightarrow ganho de \mathrm{R}\$\,40,00,
    • aparece 6 \Rightarrow perda de \mathrm{R}\$\,30,00 (ou ganho de -\mathrm{R}\$\,30,00),
    • aparece 1,3 ou 5 \Rightarrow ganho de \mathrm{R}\$\,0,00.
  • Pergunta: qual é a esperança (valor esperado) do ganho por jogada?

Passo 2

Definimos o espaço amostral e as probabilidades: o espaço amostral das faces é \{1,2,3,4,5,6\} e, como o dado é honesto, cada face tem probabilidade
\mathbb{P}(\text{face }i)=\frac{1}{6}\quad\text{para }i=1,2,3,4,5,6.
Aqui estou usando a noção intuitiva de probabilidade de um dado justo: seis resultados igualmente prováveis, logo cada um tem probabilidade \frac{1}{6}.

Passo 3

Definimos a variável aleatória X que representa o ganho do jogador (em reais) dependendo da face observada:
X(1)=0,\quad X(2)=20,\quad X(3)=0,\quad X(4)=40,\quad X(5)=0,\quad X(6)=-30.
Expliquei em palavras: para cada face eu coloquei o valor em reais que o jogador recebe (perda é valor negativo).

Passo 4

A fórmula que usamos para calcular a esperança de X é a soma dos possíveis valores de X multiplicados pelas suas probabilidades:
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,\mathbb{P}(X=x_i).
Aqui \mathbb{E}[X] é a esperança (valor médio) de X, x_i são os valores que X pode assumir e \mathbb{P}(X=x_i) é a probabilidade de cada valor.

Passo 5

Aplicamos a fórmula usando os valores e probabilidades do passo 3. Como apenas as faces 2,4,6 dão ganhos diferentes de zero, só precisamos somar as contribuições dessas faces:
\mathbb{E}[X]=20\cdot\frac{1}{6}+40\cdot\frac{1}{6}+(-30)\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{1}{6}.
Simplificando, os termos com zero somam zero, então
\mathbb{E}[X]=\frac{20+40-30}{6}.

Passo 6

Continuando a conta numericamente:
20+40-30=30,
portanto
\mathbb{E}[X]=\frac{30}{6}=5.
Interpretação rápida: em média (esperança) o jogador ganha \mathrm{R}\$\,5,00 por jogada — é um jogo favorável ao jogador em termos de valor esperado. Força aí, dá pra decorar esse raciocínio: listar ganhos, associar probabilidades e fazer a média ponderada!

Resposta

\mathrm{R}\$\,5,00

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