Investigar, por meio dos limites iterados, que a função real
f(x, y)=x-yx+y, x+y neq 0,
não tem limite na origem.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: queremos investigar, usando limites iterados, se a função real
f(x, y) = x - yx + y, x + y neq 0,
tem ou não um limite quando (x, y) se aproxima da origem (0, 0). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites iterados e como aplicá-los em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x, y) quando y se aproxima de 0, mantendo x fixo próximo de 0. Esse é o limite iterado na ordem y to 0 primeiro, depois x to 0.
limx to 0 ( limy to 0 x - yx + y )
Vamos calcular o limite interno:
limy to 0 x - yx + y = x - 0x + 0 = xx = 1, para x neq 0
Agora, calculamos o limite externo:
limx to 0 1 = 1
Portanto, o limite iterado nessa ordem é igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x, y) quando x se aproxima de 0, mantendo y fixo próximo de 0. Esse é o limite iterado na ordem x to 0 primeiro, depois y to 0.
limy to 0 ( limx to 0 x - yx + y )
Vamos calcular o limite interno:
limx to 0 x - yx + y = 0 - y0 + y = -yy = -1, para y neq 0
Agora, calculamos o limite externo:
limy to 0 (-1) = -1
Portanto, o limite iterado nessa ordem é igual a -1.

Passo 4

Observamos que os limites iterados calculados nas duas ordens diferentes são distintos:
limx to 0 ( limy to 0 x - yx + y ) = 1 e limy to 0 ( limx to 0 x - yx + y ) = -1
Quando os limites iterados dependem da ordem em que tomamos os limites, isso indica que o limite geral da função f(x, y) na origem (0, 0) não existe.

Resposta

A função f(x, y) = x - yx + y não possui limite na origem (0, 0).

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