Investigar, por meio dos limites iterados, que a função real
não tem limite na origem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: queremos investigar, usando limites iterados, se a função real
tem ou não um limite quando
se aproxima da origem
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites iterados e como aplicá-los em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, mantendo
fixo próximo de 0. Esse é o limite iterado na ordem
primeiro, depois
.
Vamos calcular o limite interno:
Agora, calculamos o limite externo:
Portanto, o limite iterado nessa ordem é igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, mantendo
fixo próximo de 0. Esse é o limite iterado na ordem
primeiro, depois
.
Vamos calcular o limite interno:
Agora, calculamos o limite externo:
Portanto, o limite iterado nessa ordem é igual a -1.
Passo 4
Observamos que os limites iterados calculados nas duas ordens diferentes são distintos:
Quando os limites iterados dependem da ordem em que tomamos os limites, isso indica que o limite geral da função
na origem
não existe.
Resposta
A função
não possui limite na origem
.