Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
, onde C é a linha perimetral do triângulo de vértices
,
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! Basicamente, a questão pede para calcular a integral
, onde
é o perímetro de um triângulo com vértices em
,
e
, e o trajeto é no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular quatro vezes a área do triângulo
.
Passo 5
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo com coordenadas
,
e
é:
Aplicando os pontos:
Passo 6
Voltando à nossa integral dupla:
Resposta
A integral de linha é igual a 8.