Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
ointC[x^2 d x+(4 x+y) d y], onde C é a linha perimetral do triângulo de vértices (0,0), (1,2) e (2,0), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! Basicamente, a questão pede para calcular a integral ointC[x^2 dx + (4x + y) dy], onde C é o perímetro de um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (2,0), e o trajeto é no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. A fórmula é:
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = x^2 e Q = 4x + y. Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(4x + y) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2) = 0
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - 0 = 4

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 4, dA
Isso significa que precisamos calcular quatro vezes a área do triângulo D.

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (2,0). A fórmula da área de um triângulo com coordenadas (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) é:
Área = 12 | (x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)) | Á
Aplicando os pontos:
Área = 12 | 0(2 - 0) + 1(0 - 0) + 2(0 - 2) | = 12 |0 + 0 - 4| = 12 times 4 = 2 Á

Passo 6

Voltando à nossa integral dupla:
integral duplaD 4, dA = 4 times Área = 4 times 2 = 8 Á

Resposta

A integral de linha é igual a 8.

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