Seja y=x^2. Calcule a taxa média de variação de y em relação a x com x1=1 e x2=12, 110 e 110^10. Calcule também a taxa de variação instantânea em x1=1.

Passo 1

Então, galera! A questão pede para a gente trabalhar com a função y = x^2 . Vamos calcular a taxa média de variação de y em relação a x quando x passa de 1 para outros valores: 12 , 110 e 110^10 . Além disso, também vamos descobrir a taxa de variação instantânea em x = 1 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são taxa média de variação e taxa de variação instantânea, que envolve derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a taxa média de variação. Basicamente, ela nos mostra quanto y muda em média para cada mudança em x , entre dois pontos. A fórmula para calcular isso é:
Taxa média de variação = y2 - y1x2 - x1 éçã
Aqui, y1 e y2 são os valores de y nos pontos x1 e x2 , respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos valores de :
  1. Quando :
    • Calculamos
    • Calculamos
    • Aplicando na fórmula:
é
  1. Quando :
    • Taxa média:
  1. Quando :
    • Taxa média:
 (Aqui, consideramos que \(\frac{1}{10^{20}}\) e \(\frac{1}{10^{10}}\) são muito pequenos comparados a 1, então praticamente ignoramos esses termos.)

Passo 4

Agora, vamos para a taxa de variação instantânea em x = 1 . Isso é basicamente a derivada da função no ponto x = 1 . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja, quão rápido y está mudando exatamente em x = 1 .
A função dada é y = x^2 . A derivada de y em relação a x é:
dydx = 2x
Então, substituindo x = 1 :
dydxg|x=1 = 2 times 1 = 2

Resposta

A taxa média de variação de y em relação a x é:
  • 32 quando x2 = 12 ,
  • 1110 quando x2 = 110 ,
  • e aproximadamente 1 quando x2 = 110^10 .
A taxa de variação instantânea em x = 1 é igual a 2 .

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