Seja . Calcule a taxa média de variação de em relação a e e . Calcule também a taxa de variação instantânea em .
Passo 1
Então, galera! A questão pede para a gente trabalhar com a função . Vamos calcular a taxa média de variação de em relação a quando passa de 1 para outros valores: , e . Além disso, também vamos descobrir a taxa de variação instantânea em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são taxa média de variação e taxa de variação instantânea, que envolve derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a taxa média de variação. Basicamente, ela nos mostra quanto muda em média para cada mudança em , entre dois pontos. A fórmula para calcular isso é:
Aqui, e são os valores de nos pontos e , respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos valores de :
Quando :
Calculamos
Calculamos
Aplicando na fórmula:
Quando :
Taxa média:
Quando :
Taxa média:
(Aqui, consideramos que \(\frac{1}{10^{20}}\) e \(\frac{1}{10^{10}}\) são muito pequenos comparados a 1, então praticamente ignoramos esses termos.)
Passo 4
Agora, vamos para a taxa de variação instantânea em . Isso é basicamente a derivada da função no ponto . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja, quão rápido está mudando exatamente em .
A função dada é . A derivada de em relação a é:
Então, substituindo :
Resposta
A taxa média de variação de y em relação a x é:
32 quando x2 = 12 ,
1110 quando x2 = 110 ,
e aproximadamente 1 quando x2 = 110^10 .
A taxa de variação instantânea em x = 1 é igual a 2 .