Seja
f(x)=rr -4x-1 & x <=-4 11 c x+44 c & -4<x<12 176 c-4 d(x-12)+11(x-12)^2 & x >= 12
A função f(x) tem derivada em todos os pontos, exceto possivelmente nos extremos dos intervalos onde a função muda sua expressão, que são x=-4 e x=12, por ser uma função polinomial ou racional em cada intervalo aberto (-infty,-4),(-4,12) e (12, infty). Determine c e d de modo que essa função tenha derivada em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado define a função por partes:
f(x)= -4x-1, & x<= -4, 11,c,x+44,c, & -4<x<12, 176,c-4,d,(x-12)+11,(x-12)^2, & x>=12
Para que f seja derivável em todos os pontos, precisamos que ela seja contínua e que suas derivadas laterais coincidam em x=-4 e em x=12.

Passo 2

Checamos a continuidade em x=-4.
Da primeira ramo,
f(-4^-)= -4-4-1 = 1-1=0
Do segundo ramo,
f(-4^+)=11,ccdot(-4)+44,c = -44,c+44,c=0
Logo f(-4^-)=f(-4^+) 0=0, condição já satisfeita sem impor nada a c.

Passo 3

Agora igualamos as derivadas em x=-4.
Derivada do primeiro ramo:
f1'(x)=4x^2Longrightarrow f1'(-4)=416=14
Derivada do segundo ramo:
f2'(x)=11,cLongrightarrow f2'(-4)=11,c
Para que f1'(-4)=f2'(-4) é necessário
11,c=14 Longrightarrow c=144

Passo 4

Checamos a continuidade em x=12.
Do segundo ramo,
f(12^-)=11,ccdot12+44,c=132,c+44,c=176,c
Do terceiro ramo,
f(12^+)=176,c-4,dcdot0+11cdot0=176,c
Novamente f(12^-)=f(12^+) é 176,c=176,c, já satisfeita.

Passo 5

Igualamos as derivadas em x=12.
Derivada do segundo ramo em 12:
f2'(12)=11,c
Derivada do terceiro ramo:
f3'(x)=-4,d+22,(x-12) Longrightarrow f3'(12)=-4,d
Para f2'(12)=f3'(12) precisamos
11,c=-4,d Longrightarrow d=-11,c4 =-114cdot144 =-116

Resposta

c=144, d=-116

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