Seja
A função
f(x) tem derivada em todos os pontos, exceto possivelmente nos extremos dos intervalos onde a função muda sua expressão, que são
x=-4 e
x=12 , por ser uma função polinomial ou racional em cada intervalo aberto
(-infty,-4),(-4,12) e
(12, infty) . Determine
c e
d de modo que essa função tenha derivada em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado define a função por partes:
Para que
f seja derivável em todos os pontos, precisamos que ela seja contínua e que suas derivadas laterais coincidam em
x=-4 e em
x=12 .
Passo 2
Checamos a continuidade em
x=-4 .
Da primeira ramo,
Da primeira ramo,
Do segundo ramo,
Logo
f(-4^-)=f(-4^+) dá
0=0 , condição já satisfeita sem impor nada a
c .
Passo 3
Agora igualamos as derivadas em
x=-4 .
Derivada do primeiro ramo:
Derivada do primeiro ramo:
Derivada do segundo ramo:
Para que
f1'(-4)=f2'(-4) é necessário
Passo 4
Checamos a continuidade em
x=12 .
Do segundo ramo,
Do segundo ramo,
Do terceiro ramo,
Novamente
f(12^-)=f(12^+) é
176,c=176,c , já satisfeita.
Passo 5
Igualamos as derivadas em
x=12 .
Derivada do segundo ramo em12 :
Derivada do segundo ramo em
Derivada do terceiro ramo:
Para
f2'(12)=f3'(12) precisamos