Investigue a convergência das integrais seguintes.
integral0^infty e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral0^infty e^-x^2,dx
O conteúdo envolvido é estudo de integrais de primeira espécie com limite superior infinito e uso de testes de comparação para verificar convergência.

Passo 2

Primeiro dividimos a integral em duas partes para tratar o comportamento em cada intervalo:
integral0^infty e^-x^2,dx =integral0^1 e^-x^2,dx +integral1^infty e^-x^2,dx

Passo 3

No intervalo [0,1], a função e^-x^2 é contínua e limitada (fica entre e^-1 e 1), logo
integral0^1 e^-x^2,dx
é convergente por ser integral de função contínua em intervalo finito.

Passo 4

No intervalo [1,infty), usamos o teste de comparação. Para x>=1 temos
0 <= e^-x^2 <= e^-x,
e sabemos que
integral1^infty e^-x,dx
converge (é uma integral exponencial). Pelo teste de comparação, segue que
integral1^infty e^-x^2,dx
também converge.

Resposta

A integral
integral0^infty e^-x^2,dx
é convergente.

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