Livro do Hayt, 8a Edição (Assunto: Conversão de Coordenadas):
Expresse o vetor unitário x em componentes esféricos no ponto:
Q=(x=3 ; y=2 ; z=-1);
Enunciado:

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor unitário hat x (base cartesiana) em componentes da base esférica hat r,hattheta,hatphi no ponto
Q=(x=3,;y=2,;z=-1)
O conteúdo é conversão de bases vetoriais, e vamos precisar das expressões das componentes esféricas e dos ângulos theta e phi naquele ponto.

Passo 2

Calcular as coordenadas esféricas de Q:
r=raizx^2+y^2+z^2=raiz3^2+2^2+(-1)^2=raiz14,
theta=arccosl(z/rr)=arccosl(-1/raiz14r),
phi=arctanl(y/xr)=arctanl(2/3r)
Dessas definimos
costheta=zr=-1raiz14, sintheta=raiz1-cos^2theta=raiz1314,
cosphi=xraizx^2+y^2=3raiz13, sinphi=yraizx^2+y^2=2raiz13

Passo 3

As direções da base esférica em termos da base cartesiana são
hat r=(sinthetacosphi,;sinthetasinphi,;costheta),
hattheta=(costhetacosphi,;costhetasinphi,;-sintheta),
hatphi=(-sinphi,;cosphi,;0)

Passo 4

Para expressar hat x=(1,0,0) em hat r,hattheta,hatphi usamos projeções
ar=hat xcdothat r, atheta=hat xcdothattheta, aphi=hat xcdothatphi,
de modo que
hat x=ar,hat r + atheta,hattheta + aphi,hatphi

Passo 5

Calcular cada projeção usando as componentes de hat r,hattheta,hatphi:
ar=sinthetacosphi =l(raiztfrac1314r)l(tfrac3raiz13r) =3raiz14,
atheta=costhetacosphi =l(-tfrac1raiz14r)l(tfrac3raiz13r) =-3raiz14,!,raiz13,
aphi=-sinphi =-2raiz13

Resposta

hat x =3raiz14,hat r -3raiz14,,raiz13,hattheta -2raiz13,hatphi

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