Livro do Hayt, 8a Edição (Assunto: Vetores e Fluxo):

Enunciado:

Um campo vetorial é dado por . Encontre:
a) Um vetor unitário na orientação de em ;
b) O ângulo entre e em ;
c) O valor da integral dupla descrita abaixo no plano . Qual é o nome e o significado desta integral?

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
G(x,y,z)=25x^2+y^2l(x,x+y,yr)
e pede:
– (a) o vetor unitário na direção de G em P(3,4,-2);
– (b) o ângulo entre G e x em P;
– (c) a integral
integral0^4!!integral0^2(Gcdotx),dz,dx
no plano y=7, além do nome e do significado físico dessa integral.
Conteúdos usados: avaliação de campo vetorial, norma e vetor unitário, produto escalar e ângulo entre vetores, integral dupla de fluxo (integral de superfície).

Passo 2

Para achar o vetor unitário, primeiro calculo G em P(3,4,-2). Como x=3 e y=4 temos
G(3,4,-2) =253^2+4^2l(3,x+4,yr) =2525(3,x+4,y) =3,x+4,y
A norma é
l|G(P)r| =raiz3^2+4^2=5,
logo o vetor unitário é
u =G(P)|G(P)| =35,x+45,y

Passo 3

O ângulo theta entre G(P) e x satisfaz
costheta =G(P)cdotx|G(P)|;|x| =35
Portanto
theta=arccos!l(tfrac35r)

Passo 4

No plano y=7 o produto escalar com x é
Gcdotx =25,xx^2+7^2 =25,xx^2+49
A integral torna-se
integral0^4!!integral0^225,xx^2+49,dz,dx =2integral0^425,xx^2+49,dx =50integral0^4xx^2+49,dx
Fazendo u=x^2+49, du=2x,dx, os limites vão de u(0)=49 a u(4)=65, logo
50integral0^4xx^2+49,dx =25integral49^651u,du =25l[ln ur]49^65 =25ln6549
Essa integral é a integral de superfície de fluxo de G através da placa retangular em y=7. Fisicamente, ela mede a taxa de “fluxo” do campo vetorial que atravessa essa superfície na direção positiva de x.

Resposta

(a) u=35,x+45,y
(b) theta=arccos!l(tfrac35r)
(c) 25ln!6549
Nome: integral de superfície de fluxo. Significado: fluxo de G através da placa em y=7 na direção de x.

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