Investigue a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\arctan n}{n^{2}}.
O conteúdo envolvido é análise de convergência absoluta e uso do critério de comparação com p-séries.

Passo 2

Estudamos primeiro a convergência absoluta, isto é, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n}\,\frac{\arctan n}{n^{2}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^{2}}.
Como \arctan n\le \tfrac{\pi}{2} para todo n, vale
0\le \frac{\arctan n}{n^{2}}\le \frac{\pi/2}{n^{2}}.
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge (é p-série com p=2>1). Logo, por comparação direta,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^{2}}
também converge.

Passo 3

Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\arctan n}{n^{2}} converge absolutamente (e, portanto, converge).

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