Teste as seguintes séries alternadas quanto a convergência ou divergência
Determine se converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \operatorname{tg}^{-1} n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\arctan(n).
Vamos usar o teste do termo geral (que exige \lim_{n\to\infty}a_n=0) e observar o comportamento de \arctan(n).

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral em valor absoluto:
\lim_{n\to\infty}\arctan(n)=\frac{\pi}{2},
pois a função \arctan(x) é crescente e tende a \tfrac{\pi}{2} quando x\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\arctan(n)
não existe como zero (os valores oscilam entre aproximadamente \pm\frac{\pi}{2}).

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, a série necessariamente diverge. Aqui temos \lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\arctan(n)\neq0, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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