Teste as seguintes séries alternadas quanto a convergência ou divergência
Determine se converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{2 / n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}e^{2/n}.
O conteúdo principal é o teste do termo geral (n-ésimo termo) e o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Seja a_n = (-1)^{n-1}e^{2/n}. Para qualquer série infinita, um teste preliminar é verificar o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}e^{2/n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{2/n} = e^0 = 1, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = \pm 1\quad(\text{não é }0).ãé

Passo 3

Como o termo geral a_n não tende a zero, a série não pode convergir. Pelo teste do termo geral, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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