Investigue a convergência das seguintes séries valendo-se dos critérios necessários.
12+(25)^3+(38)^5+cdots+(n3 n-1)^2 n-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty(n3n-1)^2n-1
Como todos os termos são positivos, podemos usar o Teste da raiz (Cauchy): se
L = limntoinftyraiz[n]an
satisfaz L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste não conclui.

Passo 2

Seja
an = (n3n-1)^2n-1
Calculamos
raiz[n]an = (n3n-1)^2n-1n = (n3n-1)^2cdot(n3n-1)^-1n
Para ntoinfty temos tfracn3n-1totfrac13 e l(tfracn3n-1r)^-1/nto1. Logo
L = limntoinftyraiz[n]an = (13)^2cdot1 = 19

Passo 3

Como L=tfrac19<1, o Teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (absolutamente).

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