Investigue a convergência das seguintes séries valendo-se dos critérios necessários.
1raiz2+32+52 raiz2+cdots+2 n-1(raiz2)^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2n-1(raiz2)^n
Isso envolve dois pontos: (i) verificar convergência (usando, por exemplo, o critério da razão) e (ii) calcular a soma da série, pois ela se comporta como uma série de potências em x=1/raiz2.

Passo 2

Aplique o critério da razão a
an = 2n-1(raiz2)^n,
Calcule
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty2(n+1)-1(raiz2)^,n+1cdot(raiz2)^n2n-1 =limntoinfty2n+12n-1cdot1raiz2 =1raiz2,<1
Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Sendo absolutamente convergente, a série converge. Agora vamos achar seu valor. Note que, com x=tfrac1raiz2, temos
sumn=1^infty2n-1(raiz2)^n =sumn=1^infty(2n-1)x^n =2sumn=1^infty n,x^n-sumn=1^infty x^n

Passo 4

Utilize as somas conhecidas de séries de potências:
sumn=1^infty x^n=x1-x, sumn=1^infty n,x^n=x(1-x)^2

Passo 5

Substituindo em
sumn=1^infty(2n-1)x^n =2x(1-x)^2-x1-x =2x - x(1-x)(1-x)^2 =x(1+x)(1-x)^2

Passo 6

Agora ponha x=1/raiz2. Primeiro note
1-x=1-1raiz2=raiz2-1raiz2,
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(1-x)^2=(raiz2-1)^22=3-2raiz22
Portanto
sumn=1^infty2n-1(raiz2)^n =tfrac1raiz2l(1+tfrac1raiz2r)tfrac3-2raiz22 =tfrac1raiz2+tfrac12tfrac3-2raiz22 =2tfrac1raiz2+tfrac123-2raiz2 =raiz2+13-2raiz2
Multiplicando numerador e denominador por 3+2raiz2
(raiz2+1)(3+2raiz2)9-8 =5raiz2+7

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é
7 + 5raiz2

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