Investigue a convergência das seguintes séries valendo-se dos critérios necessários.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Isso envolve dois pontos: (i) verificar convergência (usando, por exemplo, o critério da razão) e (ii) calcular a soma da série, pois ela se comporta como uma série de potências em
.
Passo 2
Aplique o critério da razão a
Calcule
Como
, a série converge absolutamente.
Passo 3
Sendo absolutamente convergente, a série converge. Agora vamos achar seu valor. Note que, com
, temos
Passo 4
Utilize as somas conhecidas de séries de potências:
Passo 5
Substituindo em
Passo 6
Agora ponha
. Primeiro note
logo
Portanto
Multiplicando numerador e denominador por
dá
Resposta
A série converge absolutamente e seu valor é