Investigue a convergência das seguintes séries valendo-se dos critérios necessários.
2+2^22+2^33+cdots+2^nn+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 2^nn
O conteúdo é testes de convergência de séries numeráveis. Vamos usar o teste da razão para verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

O teste da razão afirma que, se para an definindo
L = limntoinfty |an+1an|,
tivermos L<1 a série converge, se L>1 ela diverge e, se L=1, o teste é inconclusivo. Aqui an = 2^nn, logo
|an+1an| = 2^n+1/(n+1)2^n/n = 2 ,n,n+1,
Tomando o limite,
L = limntoinfty 2 ,nn+1 = 2

Passo 3

Como L=2>1, o teste da razão mostra que os termos não diminuem rápido o bastante e a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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