Use a Definição 7.1.1 para determinar Lf(t).
f(t)=ll0, & 0 <= t<pi / 2 cos t, & t >= pi / 2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que
f(t)= 0, & 0<= t<pi/2, cos t, & t>=pi/2,
e pede pra gente achar a transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt
(usando a Definição 7.1.1). Vamos também precisar integrar e^-stcos t por partes.

Passo 2

Aplicando a definição,
Lf(t)(s);=;integral0^infty e^-stf(t),dt

Passo 3

Como f(t)=0 até pi/2 e cos t depois, separamos:
integral0^pi/2e^-stcdot0,dt ;+;integralpi/2^infty e^-stcos t,dt
A primeira parte é zero, então
Lf(t)(s) =integralpi/2^infty e^-stcos t,dt

Passo 4

Precisamos da integral indefinida
I=integral e^-stcos t,dt
Fazemos integração por partes:
  • Seja u=cos t, dv=e^-stdt.
  • Então du=-sin t,dt, v=-tfrac1s e^-st.
    Logo
I =;u,v;-;integral v,du =;-e^-stcos ts ;-;integral(-1s e^-st)(-,sin t),dt =;-e^-stcos ts -1sintegral e^-stsin t,dt
Chama J=integral e^-stsin t,dt. De novo por partes em J:
  • Seja u=sin t, dv=e^-stdt du=cos t,dt, v=-tfrac1s e^-st.
J =-e^-stsin ts +1sintegral e^-stcos t,dt =-e^-stsin ts +1sI
Volta pra I:
I=-e^-stcos ts-1sJ =-e^-stcos ts -1s(-e^-stsin ts+1sI)
Reorganizando (colocando todos os I juntos):
I(1+1s^2) =,-e^-stcos ts+e^-stsin ts^2 ;;Longrightarrow;; I=e^-st(-,scos t+sin t)s^2+1

Passo 5

Agora avaliamos
integralpi/2^infty e^-stcos t,dt =[I]t=pi/2^ttoinfty.
  • Quando ttoinfty, e^-stto0.
  • Em t=pi/2: -scos(tfracpi2)+sin(tfracpi2)=0cdot(-s)+1=1.
    Fica
integralpi/2^infty e^-stcos t,dt =0-e^-spi/2cdot1s^2+1 =-e^-spi/2s^2+1

Resposta

boxed Lf(t)(s) =-e^-spi/2s^2+1

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