Suponha que para alguma vizinhança coordenada uma superfície regular possa ser parametrizada da forma
X(u, v)=alpha1(u)+alpha2(v),
onde alpha1 e alpha2 são curvas regulares. Mostre que os planos tangentes ao longo de uma curva coordenada fixa desta vizinhança são todos paralelos a uma reta.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma aplicação
X(u,v)=alpha1(u)+alpha2(v)
definida num retângulo de parâmetros (u,v), onde alpha1 e alpha2 são curvas regulares. O que nos interessa é observar as curvas coordenadas (por exemplo, v fixo) e mostrar que, ao longo dessa curva, todos os planos tangentes contêm uma mesma direção fixa, ou seja, são paralelos a uma reta.

Passo 2

Vamos calcular os vetores tangentes parciais de X. Como
X(u,v)=alpha1(u)+alpha2(v),
temos
Xu(u,v)=partialpartial uX(u,v)=alpha1'(u),
Xv(u,v)=partialpartial vX(u,v)=alpha2'(v)
Estes vetores geram o plano tangente em cada ponto (u,v).

Passo 3

Agora, fixemos v=v0. A curva coordenada é
c(u)=X(u,v0)=alpha1(u)+alpha2(v0)
O vetor tangente a essa curva em u é
c'(u)=alpha1'(u),
ou seja, coincide com Xu(u,v0).

Passo 4

O plano tangente à superfície no ponto c(u) é gerado pelos vetores Xu(u,v0),,Xv(u,v0). Mas para todo u temos
Xv(u,v0)=alpha2'(v0),
que é independente de u. Logo, em cada um desses pontos o plano tangente contém o vetor fixo alpha2'(v0).

Passo 5

Como todos os planos tangentes ao longo de c(u) contêm a mesma direção gerada por alpha2'(v0), eles são todos paralelos à reta
alpha2'(v0) na direção de t, çã
isto é, paralelos à linha de direção alpha2'(v0).

Resposta

Os planos tangentes ao longo de uma curva com v fixo contêm o vetor fixo alpha2'(v0) e, portanto, são todos paralelos à reta de direção alpha2'(v0).

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