Suponha que para alguma vizinhança coordenada uma superfície regular possa ser parametrizada da forma
onde
e
são curvas regulares. Mostre que os planos tangentes ao longo de uma curva coordenada fixa desta vizinhança são todos paralelos a uma reta.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma aplicação
definida num retângulo de parâmetros
, onde
e
são curvas regulares. O que nos interessa é observar as curvas coordenadas (por exemplo,
fixo) e mostrar que, ao longo dessa curva, todos os planos tangentes contêm uma mesma direção fixa, ou seja, são paralelos a uma reta.
Passo 2
Vamos calcular os vetores tangentes parciais de
. Como
temos
Estes vetores geram o plano tangente em cada ponto
.
Passo 3
Agora, fixemos
. A curva coordenada é
O vetor tangente a essa curva em
é
ou seja, coincide com
.
Passo 4
O plano tangente à superfície no ponto
é gerado pelos vetores
. Mas para todo
temos
que é independente de
. Logo, em cada um desses pontos o plano tangente contém o vetor fixo
.
Passo 5
Como todos os planos tangentes ao longo de
contêm a mesma direção gerada por
, eles são todos paralelos à reta
isto é, paralelos à linha de direção
.
Resposta
Os planos tangentes ao longo de uma curva com
fixo contêm o vetor fixo
e, portanto, são todos paralelos à reta de direção
.