Investigue a convergêng das integrais seguintes.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias que apresentam singularidade no ponto de integração, e vamos precisar usar uma aproximação de
perto de
ou um teste de comparação.
Passo 2
Observamos que a única dificuldade ocorre em
, pois ali
e o integrando
tende a
. Podemos então reescrever a integral como limite:
Passo 3
Para entender o comportamento de
perto de
, fazemos
com
. Então
logo
Mas sabemos que
ou seja, diverge. Pelo teste da comparação limite, como
e
têm comportamento equivalente em
e a segunda gera divergência, a integral original também diverge.
Passo 4
Concluímos que a integral
não converge.
Resposta
A integral diverge.