Investigue a convergêng das integrais seguintes.
integral1^2 d xln x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral1^2dxln x
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias que apresentam singularidade no ponto de integração, e vamos precisar usar uma aproximação de ln x perto de x=1 ou um teste de comparação.

Passo 2

Observamos que a única dificuldade ocorre em x=1, pois ali ln xto0 e o integrando tfrac1ln x tende a +infty. Podemos então reescrever a integral como limite:
integral1^2dxln x =limvarepsilonto0^+integral1+varepsilon^2dxln x

Passo 3

Para entender o comportamento de tfrac1ln x perto de x=1, fazemos x=1+t com tto0^+. Então
ln x=ln(1+t)=t-t^22+cdotsapprox t,
logo
1ln xapprox1t=1x-1
Mas sabemos que
integral1+varepsilon^adxx-1 =integralvarepsilon^a-1dtt =l[ln tr]varepsilon^a-1 longrightarrow+infty(varepsilonto0^+),
ou seja, diverge. Pelo teste da comparação limite, como tfrac1ln x e tfrac1x-1 têm comportamento equivalente em xto1^+ e a segunda gera divergência, a integral original também diverge.

Passo 4

Concluímos que a integral integral1^2dxln x não converge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados