Investigue a convergêng das integrais seguintes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa investigar se a integral
converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral para ver se ela tem algum ponto problemático que pode fazer a integral não ter um valor definido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral convergir ou divergir. Uma integral converge se ela tem um valor finito. Se ela não tem, a gente fala que ela diverge. No nosso caso, o intervalo de integração é de 0 a 1, e a gente precisa ver se a função
se comporta bem nesse intervalo ou se tem algum ponto onde ela “explode”, ou seja, cresce sem limite.
Passo 3
Olha só, a função
tem o denominador
. Vamos ver quando esse denominador fica zero, porque aí a função vai ficar indefinida ou muito grande. Resolviendo
, temos que
é o ponto onde o denominador zera. Então, o ponto crítico aqui é
, que está no limite superior do nosso intervalo de integração.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de
. Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0, e por isso
também se aproxima de 0. Isso faz com que
cresça sem limite. Precisamos ver se essa “explosão” é forte o suficiente para fazer a integral divergir ou se ainda assim conseguimos um valor finito.
Passo 5
Para isso, vamos simplificar a expressão perto de
. Podemos fazer uma aproximação: quando
está perto de 1,
, então
. Assim, a função fica aproximadamente
. Agora, nossa integral se parece com
perto de
.
Passo 6
Sabemos que integrais do tipo
convergem se
e divergem se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a integral
converge.
Passo 7
Como a nossa integral original se comporta de forma semelhante a uma integral que converge perto de
, podemos concluir que a integral
também converge.
Resposta
A integral
converge.