Investigue a convergêng das integrais seguintes.
integral0^1 d xraiz[3]1-x^4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa investigar se a integral integral0^1 dxraiz[3]1 - x^4 converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função dentro da integral para ver se ela tem algum ponto problemático que pode fazer a integral não ter um valor definido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral convergir ou divergir. Uma integral converge se ela tem um valor finito. Se ela não tem, a gente fala que ela diverge. No nosso caso, o intervalo de integração é de 0 a 1, e a gente precisa ver se a função 1raiz[3]1 - x^4 se comporta bem nesse intervalo ou se tem algum ponto onde ela “explode”, ou seja, cresce sem limite.

Passo 3

Olha só, a função 1raiz[3]1 - x^4 tem o denominador raiz[3]1 - x^4 . Vamos ver quando esse denominador fica zero, porque aí a função vai ficar indefinida ou muito grande. Resolviendo 1 - x^4 = 0, temos que x = 1 é o ponto onde o denominador zera. Então, o ponto crítico aqui é x = 1, que está no limite superior do nosso intervalo de integração.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de x = 1. Quando x se aproxima de 1, 1 - x^4 se aproxima de 0, e por isso raiz[3]1 - x^4 também se aproxima de 0. Isso faz com que 1raiz[3]1 - x^4 cresça sem limite. Precisamos ver se essa “explosão” é forte o suficiente para fazer a integral divergir ou se ainda assim conseguimos um valor finito.

Passo 5

Para isso, vamos simplificar a expressão perto de x = 1. Podemos fazer uma aproximação: quando x está perto de 1, x^4 approx 1, então 1 - x^4 approx 1 - x. Assim, a função fica aproximadamente 1raiz[3]1 - x. Agora, nossa integral se parece com integral dx(1 - x)^1/3 perto de x = 1.

Passo 6

Sabemos que integrais do tipo integral dx(1 - x)^p convergem se p < 1 e divergem se p >= 1. No nosso caso, p = 13, que é menor que 1. Portanto, a integral integral dx(1 - x)^1/3 converge.

Passo 7

Como a nossa integral original se comporta de forma semelhante a uma integral que converge perto de x = 1, podemos concluir que a integral integral0^1 dxraiz[3]1 - x^4 também converge.

Resposta

A integral integral0^1 dxraiz[3]1 - x^4 converge.

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