Um investimento gera receita continuamente à taxa de f(t)=\sqrt{t} milhares de reais por ano, onde t é o tempo em anos. Se a taxa anual de juros é 6 \% ao ano capitalizado continuamente, use a regra do trapézio composto com \mathrm{n}=5, sabendo que a integral que modela esse problema é V(F)=e^{i \cdot 1} \int_{a}^{b} f(t) e^{-i \cdot 1} \cdot d(t), para estimar o valor futuro do investimento para um tempo de 10 anos. R: R$ 26.072,24.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, pelo trapézio composto com n=5, o valor futuro de um fluxo contínuo de receitas dado por \r
f(t)=\sqrt{t}\quad(\text{milhares de R\$ por ano}),\quad t\in[0,10],\r
sob taxa de juros contínua i=6\% ao ano. A fórmula do valor futuro ao tempo b é \r
V_F \;=\; e^{i\,b}\int_{0}^{b}f(t)\,e^{-i\,t}\,dt,\r
aqui com b=10. Vamos então aproximar \r
\int_{0}^{10}\sqrt{t}\,e^{-0.06\,t}\,dt\r
pela regra do trapézio composto e depois multiplicar por e^{0.6}.

Passo 2

Definimos o passo \r
h=\frac{10-0}{5}=2\r
e os nós \r
t_k = 0,2,4,6,8,10\quad(k=0,1,\dots,5).\r
Em cada nó avaliamos a função descontada \r
g(t)=\sqrt{t}\,e^{-0.06\,t}.

Passo 3

Calculamos g(t_k): \r
\begin{aligned} g(0)&=\sqrt{0}\,e^{-0}=0,\\\ g(2)&=\sqrt{2}\,e^{-0.12}\approx1.4142\cdot0.8869=1.2549,\\\ g(4)&=2\,e^{-0.24}\approx2\cdot0.7866=1.5733,\\\ g(6)&\approx2.4495\cdot e^{-0.36}\approx2.4495\cdot0.6977=1.7085,\\\ g(8)&\approx2.8284\cdot e^{-0.48}\approx2.8284\cdot0.6188=1.7503,\\\ g(10)&\approx3.1623\cdot e^{-0.60}\approx3.1623\cdot0.5488=1.7346. \end{aligned}

Passo 4

Pela regra do trapézio composto,\r
\int_{0}^{10}g(t)\,dt \approx \frac{h}{2}\Bigl[g(0)+g(10)+2\sum_{k=1}^{4}g(t_k)\Bigr] = \frac{2}{2}\bigl[0+1.7346+2(1.2549+1.5733+1.7085+1.7503)\bigr].\r
Somando os interiores, 1.2549+1.5733+1.7085+1.7503=6.2870, então \r
\int_{0}^{10}g(t)\,dt\approx 1\cdot\bigl[1.7346+2\cdot6.2870\bigr] =1.7346+12.5740=14.3086.

Passo 5

Finalmente, o valor futuro é \r
V_F = e^{0.06\cdot10}\times14.3086 =e^{0.6}\cdot14.3086\approx1.8221\cdot14.3086\approx26.072\quad(\text{milhares de R\$}).\r
Em reais isso dá \r
V_F\approx26{,}072{.}24\text{ R\$}.

Resposta

R$ 26.072, 24.

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